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[[양자역학]]에서, '''브라-켓 표기법'''(bra-ket notation)은 [[양자 상태]]를 표현하기 위한 표준 표기법으로, 추상적인 [[벡터]]를 나타내거나 [[선형 범함수]]를 표현하는데 사용되기도사용되는 한다. 이 표기법은 [[괄호|꺾쇠괄호]] '⟨', '⟩'와 ,[[수직선 (기호)|수직선]] '|' 을 사용하여 표기하며 복소벡터공간에서 벡터의 [[스칼라곱]] 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다. [[내적]]이나 [[작용 (물리학)|작용]]은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다표기법이다.
이 표기법은 [[괄호|꺾쇠괄호]] '⟨', '⟩'와 ,[[수직선 (기호)|수직선]] '|' 을 사용하여 표기하며 복소벡터공간에서 벡터의 [[스칼라곱]] 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다. [[내적]]이나 [[작용 (물리학)|작용]]은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다.
:<math>\langle\phi{\mid}\psi\rangle.</math>
오른쪽 부분은 '''켓'''이라고 하며, 일반적으로 벡터 중에서도 [[열벡터]]를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
:<math>|\psi\rangle.</math>
왼쪽 부분은 브라라고 하며, 같은 레이블의(같은 내용물을 가진) 켓의 [[에르미트 수반]]이다. 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
:<math>\langle\phi|.</math>
브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 [[행렬 곱셈]]을 표현하는데 사용된다. 또한 레이블이 같은 브라와 켓은 서로에게 [[에르미트 수반이다수반]]이다.
브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에<ref name="Dirac">{{harvnb|Dirac|1939}}</ref><ref>{{harvnb|Shankar|1994|loc=Chapter 1}}</ref> '''디랙 표기법'''이라고도 한다.
== 소개 ==
브라-켓 표기법은 [[선형 대수학]]의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 [[복소수복소 벡터 공간]]에서의 벡터, [[내적]], [[선형 연산자]], [[에르미트 수반]], 쌍대공간에[[쌍대공간]]에 초점이 맞추어져있으며, 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다.
양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 또한 양자역학으로 설명되는 많은 현상들이 브라-켓 표기법을 사용하여 표현된다.
간단히 생각하자면설명하자면, 켓 {{math|{{ket|''m''}}}} 은 [[열벡터]]이며, 같은 레이블의 브라 {{math|{{bra|''m''}}}} 의 [[켤레 전치]](행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 [[행렬 곱셈]]을 의미한다.<ref name="Bra-Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication">[http://algassert.com/post/1629 Gidney, Craig (2017). Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication]</ref> 그러나, 켓은 열벡터로 쓰여지기 어려운 [[가산 집합|불가산]] 무한차원 벡터 공간에서 나타날 수도 있다. 또한, 숫자들의 목록으로 열벡터를 쓰는기 위해서는 [[기저]]가 필요한데, 이에 반해 "{{math|{{ket|''m''}}}}"이라고 쓰는것은 어떠한 특정한 기저를 정할 필요가 없다. 이러한 특성은 자주 다른 기저(예를 들자면 위치 기저, 운동량기저, 에너지 고유기저 등)로 바꿔야하는 양자역학에서의 계산에서 유용하며, 그래서 브라-켓 표기법은 행렬로 쓰이기 어려운 기저벡터를 명시적으로 표현하기에 좋다. 심지어 어떤 상황에서는 중요한 두 기저 벡터가 단순히"{{math|{{ket|''-''}}}}"와"{{math|{{ket|''+''}}}}"로 표현될 때도 있다.
일부 물리학자들이 선호하는 [[내적]]에 대한 표준 수학적 표기법은 다음 식과 같은다음의 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다.
:<math>(\phi,\psi) = \langle\phi{\mid}\psi\rangle = \bigl(\langle\phi|\bigr) \, \bigl(|\psi\rangle\bigr),</math>
브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음다음의 식과 같이구성은 외적을 나타낼 수도 있다나타낸다.
:<math>|\psi\rangle\langle\phi|</math>
또한 [[행렬 곱셈 ]](즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다. ▼
▲또한 행렬 곱셈(즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다.
만약 켓이 벡터공간의 한 원소일 경우, 대응되는 브라는 쌍대공간의 원소이다. — 리스 표현 정리를 참고하라.
== 벡터 공간 ==
=== 벡터벡터와 vs켓의 켓차이점 ===
수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 어떠한 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 조금 더 자세한데, 거의 대부분이대부분 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량([[변위]], [[속도]] 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나({{math|{{vec|''r''}}}})또는 굵게 표시하여 ({{math|'''r'''}}) 나타내어진다쓰여진다.
양자역학에서 [[양자 상태]]는 일반적으로 추상복소수벡터공간의추상복소벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 [[파동함수]](삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 이후 그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가르키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들을원소들은 일반적으로 "켓"으로 불리고불리게 되고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다.
=== 켓 표기법 ===
디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다(예시: {{math|{{ket|''A''}}}}). 이켓 표기법이 사용될 때, 이러한사용된 양들은것들은 "켓"이라고 불리며, {{math|{{ket|''A''}}}}는 "켓-A"로 읽는다.<ref>{{cite book|title=Quantum Mechanics Demystified|first=D.|last=McMahon|publisher=McGraw-Hill|year=2006|isbn=0-07-145546-9}}</ref> 이러한 켓들은 선형대수학의 일반적인 법칙을 통해 만들어질 수 있다. 예시는다음의 다음과수식은 같다그 예시이다..
:<math>\begin{align}
\end{align}</math>
참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어들도단어라도 편리한레이블로 레이블은적절하다면 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 {{math|''x''}}마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"{{math|{{ket|''A''}}}}"는 "{{math|''A''}}" 자체의 의미와 관계 없이 구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, {{math|{{ket|1}}+{{ket|2}}}}는 <span class="nowrap">|{{math|{{ket|3⟩</span>}}}}일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그럼에도그러나 불구하고,이해를 하지만돕기 용이한 이해를 위해위해서 켓 안의 레이블은 논리적으로 일관성 있게 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 [[에너지 고유켓]]은 관습적이고일반적이고 일반적으로 그들의관습적으로 [[양자수]] 목록에를 나열한 따라것으로 붙여진다.
=== 내적과 브라 ===
[[내적]]은 일반화된 [[스칼라곱]]으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은 {{math|(''A'', ''B'')}} 으로 쓰일 수 있다. 여기에서 {{math|''A'' }}와 {{{math|''B'' }}는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘다둘 다 켓이다.
브라–켓 표기법은 내적을 위한 표기법으로 다음과 같이 사용된다. ▼
:<math> (A, B) = \langle A | B \rangle = \text{the inner product of ket } | A \rangle \text{ with ket } | B \rangle</math> ▼
브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눈다. ▼
▲브라–켓 표기법은표기법으로 내적을 위한구할 표기법으로때는 다음과 같이 사용된다.
▲:<math> (A, B) = \langle A | B \rangle = \text{ the inner product of ket켓 } | A \rangle \text{ with와 ket켓 } | B \rangle \text{ 의 내적 }</math>
▲브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눈다나눌 수 있다.
:<math> \langle A | B \rangle = \bigl( \langle A | \bigr) \, \bigl( | B \rangle \bigr)</math>
여기에서 {{math|{{bra|''A''}}}}는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, {{math|{{ket|''B''}}}}는 위에서와 같이 켓이다.
내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 {{math|{{bra|''A''}}}}와 켓 {{math|{{ket|''B''}}}}는 ''둘다'' , ''그 자체 ''로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미를의미는 생각하는데에는크게 주로두가지가 다음과 같은 두 가지 방법이 있다. 따라서있지만, 표현 {{math|{{bra-ket|''A''|''B''}}}}에 대한 해석은는 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석되어진다.
==== 브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석 ====
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