"포물선"의 두 판 사이의 차이

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== [[직교 좌표계|좌표평면]]에서의 포물선 ==
[[파일:The distance between a point of parabola curve and focus or directrix.svg|thumb섬네일|300px|포물선 위의 한 점에서 초점 또는 준선과의 거리]]
 
초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax</math>이고 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay </math>이다.
== 역사 ==
{{참조|원뿔 곡선}}
[[파일:Conic sections 2n.png|thumb섬네일|300px|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]]
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN|89-7282-298-1}}, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, {{ISBN|978-89-9176-244-2}}, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 88-89쪽</ref>
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
이는 공비가 {{frac|1|4}}인 [[기하급수]]를 구하는 것과 같다.
[[파일:Parabolic Segment Dissection.svg|thumb섬네일|center|포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이]]
 
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, {{ISBN|978-89-5624-190-6}}, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref name="George616">George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, {{ISBN|89-7282-435-6}}, 616쪽</ref> 1604년 경 [[갈릴레이]]는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.<ref>스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 612쪽</ref> 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. [[토목공학]]에서 [[흙댐]]의 [[침윤선]]을 작도할 때도 사용된다.<ref>{{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=109 |isbn=978-89-8225-697-4 }}</ref>
 
== 포물선의 방정식 ==
<!-- [[파일:Ecuación de parábola vertical.svg|300px|thumb섬네일|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]] -->
[[파일:Parabola axis001.svg|thumb섬네일|parabol300px|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]]
개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은
: <math> y = \frac{1}{4p}x^2 </math> --- ⓐ
 
== 접선의 방정식 ==
[[파일:Parabel-tk-s.svg|thumb섬네일|포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하다.]]
 
포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, {{ISBN|978-89-7616-425-4}}, 85-92쪽</ref>
== 성질 ==
=== 원뿔곡선 ===
[[파일:Las parábolas son cuadráticas.svg|thumb섬네일|원뿔곡선에서 포물선은 원뿔의 기울기와 나란한 경우에 해당한다.]]
포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은
: <math>A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 </math>
 
=== 포물선의 합동 ===
[[파일:Parabola01 kr.svg|thumb섬네일|포물선의 각 요소]]
어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식
: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math>
 
=== 반사성질 ===
[[파일:Parabel 2.svg|thumb섬네일|포물선의 반사성질]]
그림과 같이 포물선 위의 한 점 E에서 만나는 접선을 생각하면 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 접선에서 초점으로 나가는 반사각이 같음을 알 수 있다. 이와 같은 포물선의 성질은 여러 곳에서 응용되고 있다. 포물선을 회전하여 반사면을 만들면 [[빛]]과 같은 [[전자기파]]를 촛점으로 모을 수도 있고, 반대로 촛점에 광원을 놓으면 빛은 포물면에 반사된 뒤 곧게 나아간다. 이러한 반사 성질은 [[반사망원경]]이나 [[파라볼라 안테나]], [[손전등]]과 같은 것에 사용된다.<ref name="George616" />
 

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