이차 방정식: 두 판 사이의 차이
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'''이차 방정식'''(二次方程式, {{llang|en|quadratic equation}})이란, 최고차항의 [[차 (수학)|차수]]가 2인 [[다항식|다항]] [[방정식]]을 뜻한다. <math>x</math>에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은
:<math> ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0</math>
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따라서, [[이차 함수#축|축]]의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, [[이차 함수#축|이차함수]]의 [[이차 함수#꼭짓점|꼭지점]]과 [[대칭]] 축은 <math>{ {-b} \over {2a} }</math> 가 된다.
=== 근의 공식의 유도 ===
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.<br />
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=== 짝수 공식 ===
이차 방정식에서 일차항의 계수 <math> b </math>가 짝수인 경우 <math>\scriptstyle b' = \frac{b}{2} </math> 를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.
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<math>x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {1^2+4\ }}{2}</math><br /> <math>x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {5\ }}{2}</math> 이다.
=== 차 고차항 압축 정리([[취른하우스 변형]])에 의한 근의 공식 유도 ===
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( <math>n</math>차항)의 <math>x</math>의 계수, <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}</math>의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,
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이차 방정식
:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>은 다음의 꼴로 정리되고,
:<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0</math>
그리고
:<math>y^2+p=0</math>의 꼴로 정리해서,
:<math>x= y- {b \over \mathbf{n} a}</math>로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,
:<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} </math>
:<math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
우선, <math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)</math>
:<math>=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) </math>
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