제곱근 2: 두 판 사이의 차이
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== 역사 ==
[[파일:Ybc7289-bw.jpg|
[[예일대학교]] 소장 목록번호 7289인 [[바빌로니아]] 점토판에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
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:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
[[파일:Square root of 2 triangle.svg|
[[직각삼각형]]에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y 라 하면 [[피타고라스 정리]]에 따라
:<math> X^2 + Y^2 = Z^2 </math>
이고, 따라서
:<math> Z = \sqrt{X^2 + Y^2}</math>
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=== 기하학적 증명 ===
[[파일:Irrationality of sqrt2.svg|right]]
오른쪽의 도형을 이용하여 2의 제곱근이 무리수임을 증명할 수 있다. 이 증명은 [[작도]]의 원칙에 따라 눈금 없는 곧은 자와 컴퍼스만을 이용한다.<ref>Apostol, Tom M. (2000), [http://jstor.org/stable/2695741 "Irrationality of the square root of two – A geometric proof"], American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741.</ref>
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:: 따라서, <math> \frac{m}{n} = \sqrt{2}</math>
* 만약 <math> \sqrt{2}</math> 가 유리수 이라면 위의 m 과 n 을 적당히 약분하여 기약분수로 나타낼 수 있을 것이다.
* 이제, 점 A 를 중심으로 하고 반지름이 각각 m 과 n 인 호를 그림과 같이 그려 삼각형ADE를 그리면 이 삼각형은 삼각형ABC와 두 변의 길이가 같고 끼인 각이 같으므로 [[합동]]임을 알 수 있다.
* 또한 ∠EBF가 직각이고 ∠BEF 는 45˚이므로, 삼각형BEF 역시 삼각형ABC와 [[닮음|닮은]] 직각삼각형으로 빗변을 제외한 두 변의 길이가 같다. 같은 이유로 삼각형FDC 역시 삼각형ABC와 닮은 직각삼각형이 된다.
* 이를 바탕으로 각 변의 길이는 BE = m − n, BF = m − n, DF = m − n, FC = n − (m − n) = 2n − m 과 같이 정리되고 삼각형BEF 또는 삼각형FDC에서 빗변과 다른 변의 비율 역시 <math>\sqrt{2}</math> 가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
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