"삼차 방정식"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Polynomialdeg3.png|thumb섬네일|right|200px|3차함수의 그래프]]
'''삼차 방정식'''이란, 최고차항의 차수가 3인 [[다항식|다항식]]을 뜻하며, 일반적인 [[방정식]] 모양은 다음과 같다.
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 , a\ne 0 </math>
: <math>y = u + v</math>
라고 두면
: <math>(u+v)^3 + p(u+v) + q = 0</math> 이고,
 
이것은 정리하면,
: <math>u^3 + v^3 +q+(3uv + p)(u + v) = 0</math> 이고,
여기서
: <math>u^3 + v^3 +q = 0</math> 이면서, <math>3uv + p = 0</math> 이면
:<math>u^3 + v^3 +q+(3uv + p)(u + v) = 0</math> 을 만족하므로,
 
:<math>u^3+v^3 =-q \;\;,\;\; uv=-{{p}\over{3}}</math> 이고 <math> u^3v^3=(uv)^3=\left(-{{p}\over{3}}\right)^3</math>이다.
이 식은 <math>u^3</math> 에 관하여 보게된다면
[[2차 방정식]]이고 [[근과 계수의 관계]]에서
이 두개의 식으로 부터 <math>v</math> 을 소거한 경우처럼
<!-- 이 두개의 식으로 부터 <math>v</math> 을 소거하게 되면 -->
:<math> u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0 </math>
[[근의 공식]]으로부터
:<math> u^3 = {{- {q} \pm \sqrt{{q}^2 - 4 \left(-{p \over 3}\right)^3} }\over{2}}</math>
:<math> u^3 = {{- {{q}\over{\sqrt{4}}} \pm \sqrt{{q^2 \over 4} - {{4\left(-{p \over 3}\right)^3}\over{4}} } }\over{{2}\over{\sqrt{4}} }}</math>
:<math> u^3 = - {{q}\over{2}} \pm \sqrt{ {q^2 \over 4} - \left(-{p \over 3}\right)^3 } </math>
 
이것은 [[근의 공식]]에서 <math>q</math>가 짝수인 경우에서처럼
:<math>x^3 -1= 0 </math>
:<math> \left( x -1 \right)\left( x^2 +x +1 \right)= 0 </math>
:<math> \left({x - 1}\right)=0</math> 그리고 <math>\left( x^2 +x +1 \right)= 0 </math>
:<math> x = 1</math> 이고
:<math>\left( x^2 +x +1 \right)= x^2 +x +1</math> 의 2차방정식 [[근의 공식]]에 의해
:<math> x= {-1 \pm \sqrt{-3} \over 2}={-1 \pm \sqrt{3}i \over 2}</math>
:<math> \omega = {-1 + \sqrt{3}i \over 2} </math>
 
1에대한 3차방정식의 복소근을 사용해서 허수 <math>i </math>를 갖는
:복소근 <math> \omega</math>,<math> \omega^2</math>,<math> \omega^3</math>의 성질을 적용해
 
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}+ \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} \;\;,</math>
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} \; \omega + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} \; \omega^2 \;\;,</math>
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} \; \omega^2 + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}\; \omega</math>
이다.
 

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