"하이젠베르크 군"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
[[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 <math>V\times\mathbb R</math>에 다음과 같은 군 연산을 주자.
* [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega \colon V \times V \to K)</math>
그렇다면, <math>K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>(p,q),(p',q')V \inoplus VK</math>
위에 다음과 같은 군 연산을 주자.
:<math>(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)</math>
이는 [[군 (수학)|군]]의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' <math>H(V)</math>라고 한다. 이는 ([[아벨 군]]으로서의) <math>V</math>의 [[중심 확대]]이다. 즉있으며, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.항등원은
:<math>1\to\mathbb R\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t0)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1</math>
이며, 그 역원은
:<math>-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)</math>
이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' <math>\operatorname{Heis}(V;K)</math>라고 한다. 이는 [[아벨 군]] <math>(V,+)</math>의 [[중심 확대]]이다. 즉, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to K\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1</math>
 
만약보통 <math>V</math>가 유한명시되어 차원이라면,있지 하이젠베르크않은 경우, <math>H(V)n=1</math> [[행렬군]]으로경우에 나타낼 수 있다해당한다. 즉, <math>\dimoperatorname{Heis}(1;\mathbb V=2nR)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>이고, 또한의미한다.
:<math>(p,q),(p',q')\in V</math>
:<math>\omega\colon(p,q)=pq'-p'q</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>H(V)</math>를 다음과 같은 꼴의 행렬들의 군으로 생각할 수 있다.
:<math>\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
0&I_{n\times n}&q\\
0&0&1
\end{pmatrix}\in H(\mathbb R^{2n})=H_{2n+1}(\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(2n+1;\mathbb R)</math>
 
=== 리 대수 ===
보통 <math>V</math>가 명시되어 있지 않은 경우, <math>n=1</math>인 경우에 해당한다. 즉, <math>H_3(\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>를 의미한다.
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega)</math> 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합[[벡터 공간]] <math>V\times\mathbboplus RK</math> 위에 다음과 같은 [[리 대수]] 구조를 줄 연산을 주자있다.
:<math>[(\mathbf u,s),(\mathbf v,t)] = (\mathbf 0,\omega(\mathbf u,\mathbf v))\qquad\forall \mathbf u,\mathbf v\in V,\;s,t\in K</math>
이를 '''하이젠베르크 리 대수'''({{llang|en|Heisenberg Lie algebra}}) <math>\mathfrak{heis}(V;K)</math>라고 한다.
 
<math>V</math>가 유한 <math>2n</math> 차원일 때, 심플렉틱 기저 <math>(\mathsf p_i,\mathsf q^i)_{i\in\{1,\dotsc,n\}} \subseteq V</math>를 잡을 수 있다. <math>V\oplus K\mathsf c</math> 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf q^j]=\delta_i^j\mathsf c</math>
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf c]=[\mathsf q_i,\mathsf c]=0</math>
여기서 <Math>\delta_i^j</math>는 [[크로네커 델타]]이다.
 
== 성질 ==
표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[멱영군]]이며, 하이젠베르크 리 대수는 [[멱영 리 대수]]이다.
 
만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[리 군]]을 이룬다. 이는 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이다.
 
=== 행렬 표현 ===
표수 0의 체 <math>K</math> 위의 [[내적 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>[P_i,C]=[Q_i,C]=0V^* \oplus V</math>
위에 다음과 같은, 표준적인 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조가 존재한다.
:<math>\omega(\phi,u) = -\omega(u,\phi) = \langle \phi|u\rangle\qquad\forall u\in V,\;\phi\in V^*</math>
:<math>\omega(u,v) = \omega(\phi,\chi) = 0 \qquad\forall u,v\in V,\;\phi,\chi\in V^*</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Heis}(V^*\oplus V) \to \operatorname{GL}(K\oplus V\oplus K)</math>
:<math>(\phi,u,t) \mapsto \begin{pmatrix}
1&\phi &t+\langle\phi|u\rangle/2\\
0&1_V&u\\
0&0&1
\end{pmatrix}</math>
 
=== 지수 대수사상 ===
하이젠베르크 군 <math>H_\operatorname{Heis}(2n+1};K)</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak h_{heis}(2n+1};K)</math>는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\in\mathfrak h_{2n+1heis}(n)</math>
이 경우, [[행렬 지수 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\exp\begin{pmatrix}
0&0&1
\end{pmatrix}</math>
<math>\mathfrak h_{2n+1}</math>에 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 잡자.
:<math>P_i=\begin{pmatrix}0&e_i^\top&0\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
:<math>Q_i=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0_{n\times n}&e_i\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
:<math>C=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
그렇다면 <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>의 [[리 괄호]]는 다음과 같다.
:<math>[P_i,Q_i]=\delta_{ij}C</math>
:<math>[P_i,C]=[Q_i,C]=0</math>
이는 [[멱영 리 대수]]를 이룬다.
 
=== 표현론 ===
하이젠베르크 군의 [[군 표현론]]은 [[스톤-폰 노이만 정리]]에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 <math>H_{2n+1}</math>의 비자명 유니터리 [[기약 표현]]은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) <math>L^2(\mathbb R^n)</math> 위의 다음과 같은 표현 <math>\rho_{\hbar}</math>와 동형이다.
:<math>\rho_\hbar\begin{pmatrix}