"소수 계량 함수"의 두 판 사이의 차이

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이는 [[베른하르트 리만]]이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.
 
폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:
 
:<math>\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>
* 합 <math>\sum_{\rho\in S}</math>는 [[절대수렴]]하지 않는다. 이 경우 합은 <math>|\operatorname{Im}\rho|</math>의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
* 위 공식은 ''x''가 정수가 아니고 1보다 큰 실수인 경우, 즉 <math>x\in(1,\infty)\setminus\mathbb Z</math>에 대하여 유효하다. 만약 <math>x</math>가 특정한 정수 (상단의 공식의 경우 소수, 하단의 공식의 경우 소수 및 소수의 자연수 거듭제곱)인 경우, 좌변에 0.5를 더해야 한다.
 
이와 동치인 공식으로
 
== π(''x''), ''x'' / ln ''x'', 및 li(''x'')의 수치적 계산 결과 ==

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