켤레류: 두 판 사이의 차이
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[[군론]]에서, '''켤레류'''(-類, {{llang|en|conjugacy class}})는 켤레 원소를 취하는 [[군의 작용]]의 [[군의 작용의 궤도|궤도]]이다.<ref> {{저널 인용|url = https://www.dpmms.cam.ac.uk/~rdc26/surveysubmitted.pdf | 제목=The influence of conjugacy class sizes on the structure of finite groups: a survey | 성1=Carmina | 성2=Carmina | 이름2=R. D. | 이름1= A. R. | 언어=en}}</ref>
== 정의 ==
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[[유한군]] <math>G</math>의 켤레류의 수는 다음과 같다.
:<math>|\{\{hgh^{-1}\colon h\in G\}\colon g\in G\}|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|{\operatorname C}_G(g)|</math>
여기서 <math>\operatorname C_G(-)</math>는 [[중심화 부분군]]이다. 이는 [[번사이드 보조정리]]의 특수한 경우이다.
=== 켤레류 방정식 ===
군 <math>G</math>의 켤레류들은 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 '''켤레류 방정식'''(-類方程式, {{llang|en|class equation}})이라고 한다.
:<math>|G| = \sum_{[g]\in\operatorname{Cl}(G)} |[g]| = |G|\sum_{[g]\in \operatorname{Cl}(G)} \frac1{|\operatorname C_G(g)|}
= |\operatorname Z(G)| + |G|\sum_{[g]\in\operatorname{Cl}(G) \setminus\{\{c\}\colon c\in\operatorname Z(G)\}} \frac1{|\operatorname C_G(g)|}
여기서 <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[군의 중심]]이다.▼
</math>
▲여기서 <math>\operatorname C_G(-)</math>는 [[중심화 부분군]]이며, <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[군의 중심]]이다.
특히,
:<math>1 = \sum_{[g]\in\operatorname{Cl}(g)} \frac1{\operatorname{Cl}(G)}</math>
이므로, 이는 1의 [[이집트 분수]] 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, [[아벨 군]]의 경우 이러한 이집트 분수 분해는
:<math>1 + \underbrace{\frac1{|G|}+\frac1{|G|}+\dotsb+\frac1{|G|}}_{|G|}</math>
이다.
=== 콤팩트 리 군 ===
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</math>
이므로, 대각합의 값은 <math>[-2,+2]</math>의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘[[위도]]’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘[[경도]]’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 <math>\pm2</math>가 되는 경우, 즉 <math>\theta \in \{0,\pi\}</math>인 경우이며, 이 경우 켤레류는 [[한원소 집합]] <math>\{\pm1_{2\times2}\}</math>이다.
=== 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군 ===
켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다.
하나의 켤레류만을 갖는 유한군은 [[자명군]] 밖에 없다. 이는 1의 [[이집트 분수]] 분해
:<math>1 = \frac11</math>
에 대응한다.
두 개의 켤레류를 갖는 유한군은 2차 [[순환군]] 밖에 없다. 이는 1의 [[이집트 분수]] 분해
:<math>1 = \frac12 + \frac12</math>
에 해당한다.
세 개의 켤레류를 갖는 유한군은 이집트 분수 분해
:<math>\begin{aligned}
1 &= \frac12 + \frac13 + \frac16 \\
& = \frac12 + \frac14 + \frac14 \\
&= \frac13 + \frac13 + \frac13
\end{aligned}</math>
가 가능하다.
* ⅓+⅓+⅓인 경우는 3차 [[순환군]] 밖에 없다.
* ½+¼+¼인 경우는 존재하지 않는다.
* ½+⅓+⅙인 경우는 3차 [[대칭군 (군론)|군론]]에 해당한다.
네 개의 켤레류를 갖는 유한군들은 정확히 4개이며, 다음과 같다.<ref name="LL">{{저널 인용|제목=Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes|저널=Israel Journal of Mathematics|이름1=Antonio Vera|성1= López|이름2=Juan Vera 성2=López|doi=10.1007/BF02764723|issn=0021-2172|날짜=1985-12|호=4|쪽=305–338 |언어=en}}</ref>{{rp|Table 1}}
{| class=wikitable
! 군 || 이집트 분수 분해
|-
| 4차 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(4)</math> || <math>\tfrac1{12}+\tfrac14+\tfrac13+\tfrac13</math>
|-
| 5차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(5)</math> || <math>\tfrac1{10}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac12</math>
|-
| 4차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(4)</math>
| rowspan=2 | <math>\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[클라인 4원군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)^2</math>
|}
반면, <Math>1=1/6+1/3+1/4+1/4=1/12+1/12+1/3+1/2</math> 등등의 이집트 분해들을 유한군에 대응되지 않는다.
다섯 개의 켤레류를 갖는 유한군들은 정확히 8개이며, 다음과 같다.<ref name="LL"/>{{rp|Table 1}}
{| class=wikitable
! 군 || 이집트 분수 분해
|-
| 5차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(5)</math> || <math>\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15</math>
|-
| 4차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(4)</math>
| rowspan=2 | <math>\tfrac18+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[사원수군]] <math>Q_8</math>
|-
| 5차 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(5)</math> || <math>\tfrac1{60}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac13</math>
|-
| 4차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(4)</math> || <math>\tfrac1{24}+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac13</math>
|-
| 7차 [[정이면체군]] <Math>\operatorname{Dih}(7)</math> || <math>\tfrac1{14} + \tfrac17+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac12</math>
|-
| [[프로베니우스 군]] <math>\operatorname{Cyc}(5) \rtimes \operatorname{Cyc}(4)</math> || <math>\tfrac1{20}+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[프로베니우스 군]] <math>\operatorname{Cyc}(7) \rtimes \operatorname{Cyc}(3)</math> || <math>\tfrac1{21}+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac13+\tfrac13</math>
|}
정확히 <math>n</math>개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. {{OEIS|A73043}}
:1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
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