|
i & h & g
\end{bmatrix}
</math>
==무 치환 행렬==
[[단위 행렬]] <math>I</math> 는 연산시 치환이 일어나지 않는 무 치환 행렬이라고 할 수 있다.
임의의 행렬<math>A</math>에 대해서,
:<math>I A = A</math>
:<math>A I = A</math>
==응용==
<!-- 순환행렬(치환행렬)은 행렬의 특성상 [[대칭행렬]],[[회전행렬]]등 임의의 [[행렬]]을 대상으로하는 조작과 깊은 연관이 있다. -->
순열행렬(치환행렬)은 행렬의 특성상 [[대칭]]적 [[행렬]],의도된 (복잡한) 순환행렬등 임의의 [[행렬]]을 대상으로하는 조작에대해 정교한 방법을 제공한다.
*대칭적 행렬
: 행의 재배열에서
: <math>\;\;\;\; A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
</math>에대해,
:<math>I^a A =
\begin{bmatrix}
g & h & i \\
d & e & f \\
a & b & c
\end{bmatrix}
</math> 는
행에대해 [[대칭성]] 또는 [[반사 (수학)|반사]]적 성질을 보여준다.
: 열의 재배열에서
:<math>A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
</math>에대해 <math>
\begin{bmatrix}
c & b & a \\
f & e & d \\
i & h & g
\end{bmatrix} = A I^a
</math>는
열에대해 전체적으로는 [[대칭성]] , 행렬과 행렬에 대해서는(부분적으로는) [[반사 (수학)|반사]]적 성질을 보여준다.
*의도된 (복잡한) 순열행렬
:<math>A = \begin{pmatrix}
\color{red}{a} & b & c\\
d & \color{red}{e} & f\\
g & h & \color{red}{i}\end{pmatrix}
\qquad
,\;\; x = \begin{pmatrix}
\color{red}{a} & d & g\\
b & \color{red}{e} & h\\
c & f & \color{red}{i}\end{pmatrix}
</math>
:<math>A^{T}=x</math>
:<math>A = \begin{pmatrix}
a & b & \color{red}{c}\\
d & \color{red}{e} & f\\
\color{red}{g} & h & {i}\end{pmatrix}
\qquad
,\;\; y = \begin{pmatrix}
i & f & \color{red}{c}\\
h & \color{red}{e} & b\\
\color{red}{g} & d & a\end{pmatrix}
</math>
[[단위 행렬]]<math>I</math>로부터,
:<math>
I^a = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\;\;,\;\; I^b = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\; , I^a =I^b
</math>
:<math> I^a \cdot A^T =
\begin{pmatrix}
c & f & \color{red}{i}\\
b & \color{red}{e} & h\\
\color{red}{a} & d & g\\
\end{pmatrix}
</math>
:<math>I^a \cdot A^T \cdot I^b =
\begin{pmatrix}
i & f & \color{red}{c}\\
h & \color{red}{e} & b\\
\color{red}{g} & d & a\end{pmatrix} =y
</math>
이것은 [[반 대각선 행렬]]로 부터 반 [[전치행렬]]을 얻을수있는 방법을 제공한다.
==성분 치환 행렬==
일반적으로 치환 행렬은 행 또는 열을 교환한다.
그러나 치환행렬은 [[행렬]] 고유의 연산 과 [[시프트 행렬]] 등 다른 행렬들과 함께해서 결과적으로 행렬의 성분(원소)만을 치환할 수 있는 방법을 제공한다.
:<math> A =
\begin{pmatrix}
a & b & {\color{green}{c}} \\
d & e & {\color{green}{f}} \\
g & h & i
\end{pmatrix}
\;\;, \;\;
\;\;\;\; z =
\begin{pmatrix}
a & b & {\color{green}{f}} \\
d & e & {\color{green}{c}} \\
g & h & i
\end{pmatrix}
</math>
:<math> I =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\;\;, \;\;
\;\;\;\; I^a =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\;\; , \;\; I^b =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math> [[단위 행렬]] , 순열 행렬
:<math>
S =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\;\; , \;\; S^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math> [[시프트 행렬]]
:<math>
B =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math> [[변종 시프트 행렬|변종시프트행렬]]
<!-- 이러한 원소수준에서의 치환은 행이나 열 수준에서의 치환보다 복잡하다. -->
:<math>AB=
\begin{pmatrix}
a & b & 0\\
d & e & 0 \\
g & h & 0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>I^{a} S^{2} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
:<math>I^b A =
\begin{pmatrix}
d & e & {\color{green}{f}} \\
a & b & {\color{green}{c}} \\
g & h & i
\end{pmatrix}
</math>
:<math>\left(I^b A \right) \left( I^{a} S^{2} \right) =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & {\color{green}{f}} \\
0 & 0 & {\color{green}{c}} \\
0 & 0 & i
\end{pmatrix}
</math>
:<math>\left( AB \right) + \left( { \left(I^b A \right) \left( I^{a} S^{2} \right) } \right)=
\begin{pmatrix}
a & b & {\color{green}{f}} \\
d & e & {\color{green}{c}} \\
g & h & i
\end{pmatrix} =\; z
</math>
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