아핀 리 대수: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
'''아핀 리 대수'''는 [[카츠-무디 대수]] 가운데, [[카르탕 행렬]] <math>A</math>가 [[양의 준정부호]] 행렬이지만 [[양의 정부호]] 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 <math>n+1</math>개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 <math>(n+1)\times(n+1)</math> [[정사각 행렬]]이며 그 [[계수 (선형대수학)|계수]]는 <math>l</math>이다.
== 구성 ==
=== 대수적 구성 ===
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:<math>1 \to \operatorname U(1) \to \hat G_l \to \mathrm LG \to 1</math>
을 구성한다. (정수 <math>l \in \mathbb Z</math>은 <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, <math>\hat G_l</math>의 [[리 대수]]는 (<math>l\ne 0</math>일 경우, <math>l</math>의 값에 상관없이) <math>\hat{\mathfrak g}</math>이다.
== 성질 ==
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.
=== 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 단순근들이 <math>\alpha_0,\dots,\alpha_n</math>이며, 단순 쌍대근들이 <math>\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_n^\vee</math>라고 하자. '''콕서터 라벨'''({{llang|en|Coxeter label}}) <math>a_i</math>와 '''쌍대 콕서터 라벨'''({{llang|en|dual Coxeter label}}) <math>a_i^\vee</math>는 [[카르탕 행렬]] <math>A</math>에 대하여
:<math>0=a^\top A=Aa^\vee</math>
를 만족시키는 벡터이다.<ref name="Fuchs"/>{{rp|96, (2.1.16)}} 이 경우, <math>a</math> 및 <math>a^\vee</math>의 모든 성분들이 양의 정수이며 [[최대 공약수]]가 1이게 정의한다.
아핀 리 대수의 '''콕서터 수'''({{llang|en|Coxeter number}}) <math>h</math>와 '''쌍대 콕서터 수'''({{llang|en|dual Coxeter number}}) <math>h^\vee</math>는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
:<math>\mathsf h(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i</math>
:<math>\mathsf h^\vee(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i^\vee</math>
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''표준 중심 원소'''(標準中心元素, {{llang|en|canonical central element}}) <math>k\in\mathfrak h</math>는 다음과 같이 정의되는, [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>의 원소이다.
:<math>k=\sum_{i=0}^na_i^\vee\alpha_i^\vee</math>
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 중심은 1차원 부분 대수
:<math>\operatorname Z(\mathfrak g)=\mathbb C\mathsf k</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>\delta=\sum_{i=0}^na_i\alpha_i</math>
를 정의하자.
=== 근계의 구조 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 기본 단순 리 대수가 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>라고 하자. <math>r</math>가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 [[자기 동형]]의 차수라고 하자. 예를 들어, <math>\tilde D_4^{(3)}</math>의 경우, <math>r=3</math>이다. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 실근들의 집합 <math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)</math>는 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|83, Proposition 6.3a,b,c}}
:<math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=\begin{cases}
\stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r=1\\
(\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+r\mathbb Z\delta)&r\in\{2,3\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\
\frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)
&\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)}
\end{cases}</math>
<math>\mathfrak g</math>의 허근들의 집합 <math>\Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)</math>는 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\{0\})\delta</math>
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, <math>\delta</math>는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{re},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta</math>
=== 기본 단순 리 대수 ===
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, <math>\mathfrak g</math>의 '''축척 원소'''({{llang|en|scaling element}}) <math>d\in\mathfrak h</math>는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
:<math>\langle\alpha_i,d\rangle=\delta_{i,0}</math>
축척 원소를 선택하였다면, <math>\mathfrak g</math>와 그 카르탕 부분 대수 <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
:<math>\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]\oplus\mathbb C\mathsf d</math>
:<math>\mathfrak h=\operatorname{Span}\{\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_r^\vee,d\}</math>
<math>\mathfrak h</math>에서, <math>k</math> 및 <math>d</math>에 수직이 되는 부분 공간을 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>라고 하자.
:<math>\mathfrak h=\stackrel\circ{\mathfrak h}\oplus\mathbb C\mathsf k\oplus\mathbb C\mathsf d</math>
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 슈발레 생성원을
:<math>(e_0,f_0),\dots,(e_n,f_n)</math>
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''기본 단순 리 대수'''({{llang|en|underlying simple Lie algebra}}) <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}\subsetneq\mathfrak g</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math> 및 <math>(e_1,f_1),\dots,(e_n,f_n)</math>로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 [[단순 리 대수]]이며, 기본 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 카르탕 부분 대수는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
:<math>\stackrel\circ\Delta=\Delta\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}^*</math>
:<math>\stackrel\circ\Delta^\vee=\Delta^\vee\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
:<math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math>
:<math>\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\}</math>
이다.
=== 바일 군 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[바일 군]] <math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>은 아핀 [[콕서터 군]]이며, 그 기본 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 바일 군 <math>\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>과 어떤 [[자유 아벨 군]]의 [[반직접곱]]이다.<ref name="Kac"/>{{rp|88, Proposition 6.5}}
:<math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)=\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g}) \rtimes M</math>
여기서
:<math>M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r=1\\
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}</math>
는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math> 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 <math>\circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*</math>를 암묵적으로 사용하였다.
=== 스가와라 구성 ===
[[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ\mathfrak g</math>에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 <math>\hat\mathfrak g=\mathbb g[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \oplus \mathbb C\mathsf c</math>의 [[리 대수의 표현|표현]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자.
이 경우, <math>V</math>에 다음과 같은 [[비라소로 대수]]의 표현이 존재한다.
:<math>\mathsf L_n = \frac1{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m \in\mathbb Z} \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m}) \qquad (n\ne0)</math>
:<math>\mathsf L_0 = \frac2{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m =0}^\infty \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m})</math>
:<math>\mathsf c = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})}</math>
이를 '''스가와라 구성'''([菅原]構成, {{llang|en|Sugawara construction}})이라고 한다.<ref name="Schlichenmaier">{{저널 인용|제목=Sugawara construction for higher genus Riemann surfaces|이름=Martin |성=Schlichenmaier|arxiv=math/9806032|날짜=1998|언어=en}}</ref><ref name="Gawedzki">{{저널 인용|제목=Conformal field theory: a case study|이름=Krzysztof|성=Gawędzki|날짜=1999-04-21|arxiv=hep-th/9904145|언어=en}}</ref>{{rp|(4.15), §4.2}} 여기서
* <math>\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>는 [[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[이중 콕서터 수]]이다.
* <math>\eta_{ab}</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[킬링 형식]]의 스칼라배이며, 이 [[비퇴화 이차 형식]]에 따라서 <Math>\mathfrak g</math>의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
* <math>\mathsf k</math>는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
* 합이 무한해 보이지만, 이들이 [[사다리 연산자]]로 작용하므로, 실제로는 각 [[베르마 가군]]에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
* <math>\mathsf L_0</math>의 정의가 특별한 것은 [[표준 순서]]를 가했기 때문이다.
== 분류 ==
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