"무어-펜로즈 유사역행렬"의 두 판 사이의 차이

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의사역행렬은 모든 실수 혹은 허수 원소 행렬에 대해 유일하게 존재한다. [[특잇값 분해]]를 사용하면 의사역행렬을 구할 수 있다.
 
== 정의 ==
<math> A \in \mathrm{M}(m,n;K) </math>에 대하여, <math> A </math>의 의사역행렬 <math> A^+ \in \mathrm{M}(n, m; K)</math>는 무어-펜로즈 조건이라고 불리는 다음의 네 가지 조건을 모두 만족하는 행렬로 정의된다.
# <math>A A^+A = A\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''AA''<sup>+</sup>}}는 일반전인일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, {{math|''A''}}의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.);
# <math>A^+A A^+ = A^+\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''A''<sup>+</sup>}}는 [[반군]]에서의 [[약한 역]]이다.);
# <math>(AA^+)^* = AA^+\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''AA''<sup>+</sup>}}는 [[에르미트 행렬]]이다.);
 
이러한 경우에는 <math> A A^+=I</math>가 성립하므로, <math>A^+</math>를 ''우측 역행렬''이라고 부른다.
 
== 성질 ==
 
=== 존재성과 유일성 ===
의사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 <math>A</math>에 대하여, 의사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 <math>A^+</math>는 반드시 하나 존재한다.
 
첫 번째 조건을 만족하는 행렬을 일반화된 역(generalized inverse)이라고 한다. 그러한 행렬이 두 번째 조건도 만족하는 경우, 이를 일반화된 반사적 역(generalized reflexive inverse)이라고 한다. 일반화된 역과 일반화된 반사적 역은 항상 존재하지만 유일하지는 않다. 그러나 나머지 두 조건까지 만족하는 행렬은 유일하게 존재한다.
 
=== 기본 성질 ===
 
* 만약 <math>A</math>의 원소가 실수라면, <math>A^+</math>도 그러하다.
* 만약 <math>A</math>가 가역행렬이라면, 의사역행렬이 곧 역행렬이다. 즉, <math>A^+ = A^{-1}</math>이다.
* 영행렬의 의사역행렬은 그 행렬의 전치행렬이다.
* 의사역행렬의 의사역행렬은 원래 행렬과 같다. 즉, <math>(A^+)^+ = A</math>이다.
* 의사역행렬을 구하는 연산은 [[전치행렬|전치]], [[켤레 복소수|켤레]], [[켤레전치]]에 대하여 교환법칙이 성립한다. 즉,
::<math>(A^\mathrm{T})^+ = (A^+)^\mathrm{T},~~ (\,\overline{A}\,)^+ = \overline{A^+},~~ (A^*)^+ = (A^+)^*.\,\!</math>
* 행렬 <math>A</math>에 스칼라를 곱한 행렬의 의사역행렬은 <math>A^+</math>를 그 스칼라로 나눈 것과 같다. 즉,
::<math>(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+\,\!</math>. (이때, <math>\alpha\neq 0</math>)
 
[[분류:선형대수학]]
[[분류:수학]]

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