반사 (기하학): 두 판 사이의 차이
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[[파일:Simx2=transl OK.svg|섬네일|평면 위에서,
[[기하학]]에서, '''반사'''(反射, {{llang|en|reflection}})는 어떤 [[초평면]]을 [[고정점]] 집합으로 하는, [[유클리드 공간]]의 [[등거리 변환]]이다. 이러한 초평면은 거울과 같은 역할을 한다. 예를 들어, 알파벳 'p' 모양의 도형을 어떤 수직선에 대하여 반사하면, 알파벳 'q' 모양의 도형을 얻는다.
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== 성질 ==
[[파일:Simx2=rotOK.svg|섬네일|평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 [[회전 (기하학)|회전]]을 얻는다.]]
모든 반사는 유클리드 공간의 [[등거리 변환]]이다. 이는 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하지 않으며, 또한 이는 반사 초평면을 [[고정점]] 집합으로 한다.
<math>n</math>차원 유클리드 공간 위의 모든 등거리 변환은 <math>(n+1)</math>개 또는 그 이하의 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.▼
임의의 반사의 (등거리 변환에 의한) [[켤레류|켤레]] 원소는 반사이며, 반대로 임의의 두 반사는 서로 켤레다.▼
유클리드 공간의 원점을 지나는 초평면에 대한 반사는 [[선형 변환]]이며, 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 [[행렬]]을 갖는다.
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:<math>(R_H\circ R_{H'})|_{\mathbf x_0+(H\cap H')^\perp}\qquad(\mathbf x_0\in H\cap H')</math>
은 <math>\mathbf x_0</math>를 중심으로 <math>H,H'</math> 사이 각도의 2배만큼 회전하는 변환이다. 3차원 또는 그 이하의 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원 또는 그 이상에서 성립하지 않는다.
▲<math>n</math>차원 유클리드 공간 위의 모든 등거리 변환은 <math>(n+1)</math>개 또는 그 이하의 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
▲임의의 반사의 (등거리 변환에 의한) [[켤레류|켤레]] 원소는 반사이며, 반대로 임의의 두 반사는 서로 켤레다.
== 예 ==
2차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^2</math> 위에서, ''x''-축 및 ''y''-축에 대한 반사의 행렬은 각각 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
</math>
즉, 이 둘은 행렬 표기법으로 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
x\\
-y
\end{pmatrix}
\qquad\forall(x,y)\in\mathbb R^2
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
-x\\
y
\end{pmatrix}
\qquad\forall(x,y)\in\mathbb R^2
</math>
== 외부 링크 ==
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