반사 (기하학): 두 판 사이의 차이

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[[파일:Simx2=rotOK.svg|섬네일|평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 [[회전 (기하학)|회전]]을 얻는다.]]
모든 반사는 유클리드 공간의 [[등거리 변환]]이다. 이는 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하지 않으며, 또한 이는 반사 초평면을 [[고정점]] 집합으로 한다.
:<math>\det(R_H-R_H(\mathbf 0))=-1</math>
:<math>(R_H)|_H=\operatorname{id}_H</math>
 
유클리드 공간의 원점을 지나는 초평면에 대한 반사는 [[선형 변환]]이며, 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 [[행렬]]을 갖는다.
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:<math>H\parallel H'\implies R_H\circ R_{H'}=T_{2|k_H-k_{H'}|\mathbf n_H/(\mathbf n_H\cdot\mathbf n_H)}</math>
 
서로 다른 두 반사 초평면이 교차할 경우, 두 반사의 합성은 [[회전 (기하학)|회전]]이다. 구체적으로, 이는 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 직교하는수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면의 사잇각의 2배만큼의 회전이 된다.3차원 또는 그 이하의 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원 또는 그 이상에서 성립하지 않는다.
:<math>H\nparallel H'\implies (R_H\circ R_{H'})|_{H\cap H'}=\operatorname{id}_{H\cap H'}</math>
:<math>H\nparallel H'\implies (R_H\circ R_{H'})|_{\mathbf x_0+(H\cap H')^\perp}=\operatornameR_{Rotation}\left(\mathbf x_0,\frac{2\mathbf n_H\cdot\mathbf n_{H'}}{/(\Vert\mathbf n_H\Vert\Vert\mathbf n_{H'}\Vert)}\right)\forall\mathbf x_0\in H\cap H'</math>
 
<math>n</math>차원 유클리드 공간 위의 모든 등거리 변환은 <math>(n+1)</math>개 또는 그 이하의 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
:<math>\forall I\in\operatorname{IO}(n)\exists R_{H_1},\dots,R_{H_{n+1}}\colon I=R_{H_1}\circ\cdots\circ R_{H_{n+1}}</math>
 
임의의 반사의 (등거리 변환에 의한) [[켤레류|켤레]] 원소는 반사이며, 반대로 임의의 두 반사는 서로 켤레다.
:<math>I\circ R_H\circ I^{-1}=R_{I(H)}\qquad\forall I\in\operatorname{IO}(n)</math>
 
== 예 ==