체비쇼프 부등식: 두 판 사이의 차이
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:<math>\mu(\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu.</math>
좀 더 일반적으로, 만약 ''g'' 가 음수가 아닌 확장된 실수값을 갖고 잴 수 있는 함수이며, ''f''의 범위에서 감소하지 않는다면,
:<math>\mu(\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\}) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.</math>
그렇다면 위의 정의는 ''g''(''t'')를
:<math>g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{if} \ t\geq0\\0&\mbox{otherwise,}\end{cases}</math>
51번째 줄:
== 변형: One-sided 체비쇼프 부등식 ==
A one-tailed variant with ''k'' > 0, is
:<math>\Pr(X-\mu \geq k\sigma)\leq\frac{1}{1+k^2}.</math>
60번째 줄:
=== 측도론에 따른 증명 ===
''A''<sub>''t''</sub> 가 ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X'' | ''f''(''x'') ≥ ''t''} 로 정의된다고 가정하고, :<math>1_{A_t}</math>
가 ''A''<sub>''t''</sub> 집합의 [[표시 함수]]라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 확인하는 것은 쉬운 일이다
:<math>0\leq g(t)1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f,</math>
그러므로,
72번째 줄:
::<math>\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})
= \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})</math>
:<math>\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right)
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[[분류:부등식]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률부등식]]
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