리우빌 정리 (복소해석학): 두 판 사이의 차이

 

== 정의 ==

* <math>f</math>는 [[상수함수]]이다.

* <math>f</math>는 (복소 평면 전체에서) [[유계 함수|유계]] [[정칙함수]]이다.(유계는 실해석학 기준으로만 나와있다. 수정 바람)

리우빌의 정리는 테일러 급수 전개를 사용해 간단히 증명할 수 있다. 즉, 유계 함수의 경우, 테일러 급수의 계수가 (상수항을 제외하고) 모두 0이어야 한다는 것을 보이면 된다.

 

: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>

로 나타낼 수 있다. 그렇다면 임의의 양의 실수 <math>r\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

정칙함수 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(\mathbb C)\subset\mathbb C</math>은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 <math>\mathbb C</math>의 [[조밀집합]]이다. 이 역시 리우빌의 정리로부터 쉽게 증명할 수 있다. 만약 정칙함수 <math>f</math>에 대하여, 모든 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여 항상 <math>|f(z)-w_0|>r</math>라고 하자. 그렇다면

:<math>z\mapsto\frac1{f(z)-w_0}</math>

 

== 일반화 ==

[[분류:복소해석학]]

[[분류:해석학 정리]]