코사인 법칙: 두 판 사이의 차이
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[[단위 구면]] 위의 [[구면 삼각형]] <math>ABC</math>의 세 각 <math>A,B,C</math>가 마주하는 세 변이 각각 <math>a,b,c</math>라고 하면, 다음이 성립한다.
:<math>\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C</math>
여기서 <math>\cos,\sin</math>은 각각 [[코사인]], [[삼각 함수|사인]]이다. 이를 '''제1 구면 코사인 법칙'''(第一球面cosine法則, {{llang|en|first spherical law of cosines}})이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
:<math>\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c</math>
이를 '''제2 구면 코사인 법칙'''(第二球面cosine法則, {{llang|en|second spherical law of cosines}})이라고 한다.
==== 구면 코사인 법칙의 증명 ====
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여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
:<math>\sin a\sin b\cos C=\cos c-\cos a\cos b</math>
이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다. 이를 <math>ABC</math>의 쌍대 삼각형에 적용하면 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.
=== 쌍곡 코사인 법칙 ===
[[가우스 곡률]] -1의 [[쌍곡면]] 위의 [[쌍곡 삼각형]] <math>ABC</math>의 세 각 <math>A,B,C</math>이 마주하는 변이 각각 <math>a,b,c</math>라고 하면, 다음이 성립한다.
:<math>\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C</math>
여기서 <math>\cosh,\sinh</math>는 각각 [[쌍곡 코사인]], [[쌍곡 사인]]이다. 이를 '''제1 쌍곡 코사인 법칙'''(第一雙曲cosine法則, {{llang|en|first hyperbolic law of cosines}})이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
:<math>\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c</math>
이를 '''제2 쌍곡 코사인 법칙'''(第二雙曲cosine法則, {{llang|en|second hyperbolic law of cosines}})이라고 한다.
==== 쌍곡 코사인 법칙의 증명 ====
[[복소 평면]] <math>\mathbb C</math> 위의 [[열린집합|열린]] [[단위 원판]] <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위에서 [[푸앵카레 원판 모형]]을 취하자. 쌍곡 삼각형 <math>z_1,z_2,z_3</math>의 세 각의 크기를 <math>A,B,C</math>, 세 변의 길이를 <math>a,b,c</math>라고 하자. <math>D</math> 위에 적절한 [[등거리 변환]]을 가하여 <math>z_3,z_2,z_1</math>을 각각 원점 0, 양의 실수 <math>r\in \mathbb R^+</math>, [[허수부]] <math>\operatorname{Im}z>0</math>가 0보다 큰 복소수 <math>z</math>로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 <math>z,r,0</math>의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 <math>z_1,z_2,z_3</math>와 같으므로, 새로운 삼각형 <math>z,r,0</math>에 대하여 증명하는 것으로 족하다. [[쌍곡 거리]]의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
:<math>a=\ln\frac{1+r}{1-r}</math>
:<math>b=\ln\frac{1+|z|}{1-|z|}</math>
:<math>c=\ln\frac{|1-rz|+|z-r|}{|1-rz|-|z-r|}</math>
여기서 <math>\ln</math>은 [[자연 로그]]이며, <math>|-|</math>은 복소수의 [[절댓값]]이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
:<math>\tanh\frac a2=r</math>
:<math>\tanh\frac b2=|z|</math>
:<math>\tanh\frac c2=\frac{|z-r|}{|1-rz|}</math>
여기서 <math>\tanh</math>는 [[쌍곡 탄젠트]]이다. [[쌍곡선 함수]]의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}\cosh c
&=2\sinh^2\frac c2+1\\
&=2\frac{\tanh^2\frac c2}{1-\tanh^2\frac c2}+1\\
&=2\frac{|z-r|^2}{|1-rz|^2-|z-r|^2}+1\\
&=2\frac{|z-r|^2}{(1-r^2)(1-|z|^2)}+1\\
&=2\frac{r^2+|z|^2-2rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z|^2)}+1\\
&=\frac{(1+r^2)(1+|z|^2)-4rz\cos C}{(1-r^2)(1-|z|^2)}
\end{align}</math>
다섯째 등호는 평면 삼각형 <math>z,r,0</math>에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 넷째 등호에서 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.<ref name="liz">{{서적 인용
|저자1=李忠
|저자2=周建莹
|제목=双曲几何
|언어=zh
|출판사=湖南教育出版社
|위치=长沙
|날짜=1991-12
|isbn=753551376X
}}</ref>{{rp|72-74}}
:<math>\cosh a=\frac{1+\tanh^2\frac a2}{1-\tanh^2\frac a2}=\frac{1+r^2}{1-r^2}</math>
:<math>\sinh a=\frac{2\tanh\frac a2}{1-\tanh^2\frac a2}=\frac{2r}{1-r^2}</math>
:<math>\cosh b=\frac{1+|z|}{1-|z|}</math>
:<math>\sinh b=\frac{2|z|}{1-|z|^2}</math>
== 같이 보기 ==
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