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=== 그린 관계 ===
{{본문|그린 관계}}
모노이드 <math>M</math> 위에 다음과 같이 5개의 표준적인 [[동치 관계]]가 존재하며, 이를 '''[[그린 관계]]'''({{llang|en|Green’s relation}})라고 한다.<ref name="Green">{{저널 인용|제목=On the structure of semigroups|이름=J. A.|성=Green|권=54|호=1|날짜=1951-07|쪽=163–172|언어=en}}</ref>
:<math>m \;\mathcal L\; n\iff Mm=Mn</math>
:<math>m \;\mathcal R\; n\iff mM=nM</math>
:<math>m \;\mathcal D\; n\iff\exists p\in M\colon m\;\mathcal L\;p\;\mathcal R\;n\iff \exists q\in M\colon m\;\mathcal R\;q\;\mathcal L\;n</math>
즉, <math>\mathcal L</math> · <math>\mathcal R</math> · <math>\mathcal J</math>는 각각 두 원소가 생성하는 왼쪽 · 오른쪽 · 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다. <math>\mathcal H</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>가 동시에 성립하는 것이며, <math>\mathcal D</math>는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.
이들 사이에는 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal H&\implies&\mathcal L\\
\Downarrow&&\Downarrow\\
\mathcal R&\implies&\mathcal D&\implies&\mathcal J
\end{matrix}</math>
<math>\mathcal H</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>를 함의하는 가장 거친 [[동치 관계]]이며, <math>\mathcal D</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>를 함의하는 가장 섬세한 [[동치 관계]]이다. 유한 모노이드에서 <math>\mathcal D</math>와 <math>\mathcal J</math>는 서로 [[동치]]이나, 이는 무한 모노이드에서 성립하지 않을 수 있다. 가환 모노이드에서는 5개 그린 관계가 모두 서로 동치이다.
=== 쉬첸베르제 군 ===
모노이드 <math>M</math>의 <math>\mathcal H</math>-[[동치류]] <math>H</math>가 주어졌을 때,
:<math>T(H)=\{t\in M\colon Ht\subseteq H\}</math>
를 정의하자. 그렇다면, 이는 <math>M</math>의 부분 모노이드를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
:<math>t\sim t'\iff \forall h\in H\colon ht=ht'</math>
그렇다면 <math>\Gamma(H)=T(H)/{\sim}</math> 역시 모노이드를 이루며, 이는 사실 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이를 <math>H</math>의 '''쉬첸베르제 군'''({{llang|en|Schützenberger group}})이라고 한다.
일반적으로 <math>|H|=|\Gamma(H)|</math>이다. 만약 <math>H</math>가 [[군 (수학)|군]]을 이룬다면 <math>\Gamma(H)=T(H)=H</math>이다. 같은 <math>\mathcal D</math>-동치류에 속하는 <math>\mathcal H</math>-동치류들의 쉬첸베르제 군은 서로 [[동형]]이다. 오른쪽 작용 대신 왼쪽 작용을 사용하여 쉬첸베르제 군을 정의할 수 있으며, 이들은 서로 [[반대군]]을 이루므로 서로 동형이다.
쉬첸베르제 군은 프랑스의 수학자 마르셀폴 쉬첸베르제({{llang|fr|Marcel-Paul Schützenberger}}, 1920~1996)가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Marcel-Paul Schützenberger|year=1957|title=<math>\bar D</math> représentation des demi-groupes|journal=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|volume=244|pages=1994–1996|zbl=0081.25303|언어=fr}} </ref>
== 종류 ==
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