코사인 법칙: 두 판 사이의 차이
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이를 '''제2 구면 코사인 법칙'''(第二球面cosine法則, {{llang|en|second spherical law of cosines}})이라고 한다.
==== 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (접벡터 사용) ====
다음과 같은 벡터들을 정의하자.
:<math>\mathbf u=\frac{
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}}{|
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|},\;\mathbf v=\frac{
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}}{|
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|}</math>
즉, <math>\mathbf u,\mathbf v</math>는 각각 <math>C</math> 위의 <math>A,B</math>를 향하는 단위 [[접벡터]]이다. 그렇다면, <math>\mathbf u,\mathbf v</math> 사이의 각도는 <math>C</math>이다. 또한, <math>\{\overrightarrow{OC},\mathbf u\},\{\overrightarrow{OC},\mathbf v\}</math>는 각각 평면 <math>OAC,OAB</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이루므로, <math>\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}</math>를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\overrightarrow{OA}=\cos a\cdot\overrightarrow{OC}+\sin a\cdot\mathbf u</math>
:<math>\overrightarrow{OB}=\cos b\cdot\overrightarrow{OC}+\sin b\cdot\mathbf v</math>
따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\cos c
&=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\
&=(\cos a\cdot\overrightarrow{OC}+\sin a\cdot\mathbf u)\cdot(\cos b\cdot\overrightarrow{OC}+\sin b\cdot\mathbf v)\\
&=\cos a\cos b+\sin a\sin b
\end{align}</math>
==== 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용) ====
단위 구면의 중심을 <math>O</math>라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
:<math>\mathbf a=\overrightarrow{OA},\;\mathbf b=\overrightarrow{OB},\;\mathbf c=\overrightarrow{OC}</math>
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