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{{미적분학}}
 
[[다변수 미적분학]]에서, '''음함수 정리'''(陰函數定理, {{llang|en|implicit function theorem}})는 하나변수들에 또는 여러 다변수대한 [[방정식]]이 국소적으로 [[음함수|함수]] 결정할관계를 나타낼 [[충분 조건]]을조건을 제시하는 정리이다.
 
== 도입 ==
2차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^2</math> 위에서 원점 <math>(0,0)</math>을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 [[원 (기하학)|원]]의 방정식
[[원 (기하학)|원]]을 나타내는 방정식
:<math>x^2 + y^2 = -1=0</math>
을 생각하자. 이 방정식은 <math>[-1,1]\times[0,\infty)</math>에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
이 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 함수 관계를 결정할 수 있는지를 생각하자.
:<math>y=\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]</math>
또한 이 방정식은 <math>[-1,1]\times(-\infty,0]</math>에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
:<math>y=-\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]</math>
이 방정식을 만족시키는 [[연속 함수]]는 <math>[-1,1]\times\mathbb R</math>에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 <math>(0,1)</math>을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>z=x^2+y^2-1\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
이렇게 정의한 <math>F</math>의 그래프는 <math>\mathbb R^3</math>에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 <math>z=0</math>의 교선이다. <math>(0,1)</math> 주변에서 <math>x'^2+y'^2-1=0</math>인 점 <math>(x',y')</math>을 임의로 취하자. 여기에는 특히 <math>(x',y')=(0,1)</math> 역시 포함된다. <math>x=x'</math>가 고정되었을 때, <math>z={x'}^2+y^2-1</math>는 <math>y=y'</math> 주변에서 <math>y</math>에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 <math>y<y'</math>에 대하여 <math>z<0</math>이 성립하며, <math>y>y'</math>에 대하여 <math>z>0</math>이 성립한다. 따라서 <math>z=x^2+y^2-1</math>의 영점 집합은 <math>(0,1)</math>에서 국소적으로 어떤 함수 <math>y=y(x)</math>의 그래프와 일치한다. <math>z</math>가 <math>y</math>에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 <math>\partial z/\partial y\ne 0</math>이며, 음함수 정리에서는 이를 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 <math>\partial z/\partial y\ne 0</math>은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립
:<math>z_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>z_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0</math>
에서 <math>(y_1,\dots,y_m)</math>가 국소적으로 <math>(x_1,\dots,x_n)</math>의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.
:<math>\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0</math>
이 등식의 좌변은 함수 <math>z_1,\dots,z_m</math>의 변수 <math>y_1,\dots,y_m</math>에 대한 [[야코비 행렬식]]이다. 특히, 만약
:<math>z_1=a_{11}x_1+\cdots a_{1n}x_n+b_{11}y_1+\cdots+b_{1m}y_m</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>z_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n+b_{m1}y_1+\cdots+b_{mm}y_m</math>
일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 <math>x_1,\dots,x_n</math>을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 <math>(b_{ij})_{m\times m}</math>이다.
 
== 정의 ==
[[자연 정의역]] <math>[0,1]^2</math>에서, 방정식의 그래프는 자명하게 [[함수의 그래프]]가 아니다. 예를 들어 그래프와 직선 <math>x=0</math>은 유일하지 않은 교점 <math>(0,1)</math>과 <math>(0,-1)</math>을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 없다.
[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>V\subseteq\mathbb R^m</math>의 곱집합 <math>U\times V</math>의 원소를 <math>(\mathbf x,\mathbf y)</math> (<math>\mathbf x\in U</math>, <math>\mathbf y\in V</math>)로 쓰자. [[연속 미분 가능 함수]] <math>\mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^m</math>가 점 <math>(\mathbf a,\mathbf b)\in U\times V</math>에서 다음을 만족시킨다고 하자.
* <math>\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf 0</math>
* <math>\det\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf y}(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0</math>
그렇다면, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\mathbf g\colon W\to\mathbb R^m</math>가 존재하게 되는 [[열린집합]] <math>\mathbf a\in W\subseteq U</math>가 존재한다.
* <math>\mathbf b=\mathbf g(\mathbf a)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in W</math>에 대하여, <math>\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0</math>
또한, <math>\mathbf g</math>의 도함수는 다음과 같다.
:<math>\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=-\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf y}\right)^{-1}\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x}\right)\qquad\forall\mathbf x\in W</math>
이를 '''음함수 정리'''라고 한다.<ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>{{rp|326}} <math>k\in\{1,2,\dots,\}</math>에 대하여, 만약 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>\mathbf g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다. <math>m=1</math>일 경우, 만약 <math>f</math>의 연속 미분 가능성 대신 <math>f</math>와 <math>\partial f/\partial y</math>의 연속성만을 가정하면, 유일한 연속 음함수 <math>g</math>는 여전히 국소적으로 존재하나, <math>g</math>의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
=== 가장 간단한 경우 ===
점 <math>(1,0)</math> 부근에서, 방정식의 그래프는 역시 함수의 그래프가 아니다. 즉 원은 <math>(1,0)</math> 부근에 제한되었을 때 여전히 어떤 수직인 선과 유일하지 않은 교점을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 <math>(1,0)</math> 부근에서 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 없다.
열린구간 <math>U,V\subseteq\mathbb R</math>의 곱집합 <math>U\times V</math>에 정의된 [[연속 함수]] <math>f\colon U\times V\to\mathbb R</math>의 둘째 [[편도함수]] <math>\partial f/\partial y</math>가 연속 함수이며, <math>f</math>가 점 <math>(a,b)\in U\times V</math>에서 다음을 만족시킨다고 하자.
* <math>f(a,b)=0</math>
* <math>\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\ne 0</math>
그렇다면, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 <math>g\colon W\to\mathbb R</math>가 존재하게 되는 열린구간 <math>a\in W\subseteq U</math>가 존재한다.
* <math>b=g(a)</math>
* 임의의 <math>x\in W</math>에 대하여, <math>f(x,g(x))=0</math>
또한, 만약 <math>\partial f/\partial x</math> 역시 연속 함수라면, <math>g</math>는 연속 미분 가능 함수이며, <math>g</math>의 도함수는 다음과 같다.
:<math>g'(x)=-\frac{\partial f}{\partial x}\bigg/\frac{\partial f}{\partial y}\qquad\forall x\in W</math>
이는 음함수 정리의 가장 간단한 경우이다. 마찬가지로, <math>k\in\{1,2,\dots,\}</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다.
 
== 증명 ==
점 <math>(0,1)</math> 부근에서, 방정식의 그래프는 함수의 그래프이다. 즉 원은 <math>(0,1)</math> 부근에 제한되었을 때 수직인 선과 여러 교점을 가지지 않는다. 따라서 원의 방정식은 <math>(0,1)</math> 부근에서 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 있다.
=== 수학적 귀납법을 통한 증명 ===
[[수학적 귀납법]]을 사용하자.
 
==== m=1 ====
비슷하게, <math>(\pm1,0)</math>을 제외한 원 속 모든 점 부근에서 원의 방정식은 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 그 두 점을 제외하면 원의 방정식은 두 갈래의 함수
먼저 <math>m=1</math>일 경우를 증명하자. 편의상 <math>(\partial f/\partial y)(a,b)>0</math>라고 가정하자. 그러면 <math>\partial f/\partial y</math>에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.
:<math>y=\sqrt{1-x^2}</math>
:* <math>y=-\sqrt{1-x^2}operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U</math>
* <math>\operatorname B(b,\delta_1)\subseteq V</math>
로 나뉜다.
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)</math> 및 <math>y\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>에 대하여, <math>(\partial f/\partial y)(\mathbf x,y)>0</math>
이에 따라 <math>f(\mathbf a,y)</math>가 <math>\operatorname B(b,\delta_1)</math>에서 순증가 함수이며, 또한 <math>f(\mathbf a,b)=0</math>이므로, <math>f(\mathbf a,b-\delta_1)<0<f(\mathbf a,b+\delta_1)</math>이다. 따라서 다음을 만족시키는 <math>0<\delta_2<\delta_1</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x,b-\delta_1)<0<f(\mathbf x,b+\delta_1)</math>
따라서, 임의의 <math>\mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x',y)</math>는 <math>\operatorname B(b,\delta_1)</math>에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, [[중간값 정리]]에 따라 <math>f(\mathbf x',g(\mathbf x'))=0</math>인 유일한 <math>g(\mathbf x')\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 <math>g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>는 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여 <math>f(\mathbf x,g(\mathbf x))=0</math>를 만족시키며, 특히 <math>b=g(\mathbf a)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 연속성을 증명하자. 임의의 <math>\mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math> 및 충분히 작은 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x',g(\mathbf x')-\epsilon)<0<f(\mathbf x',g(\mathbf x')+\epsilon)</math>이므로, 다음을 만족시키는 <math>\delta_3>0</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname B(\mathbf x',\delta_3)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_3)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x,g(\mathbf x')-\epsilon)<0<f(\mathbf x,g(\mathbf x')+\epsilon)</math>
따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)\in\operatorname B(g(\mathbf x'),\epsilon)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 유일성을 증명하자. 연속 함수 <math>h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
* <math>b=h(\mathbf a)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x,h(\mathbf x))=0</math>
그렇다면, 다음과 같은 집합이 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 [[열린닫힌집합]]임을 보이는 것으로 족하다.
:<math>A=\{\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\colon g(\mathbf x)=h(\mathbf x)\}</math>
우선 임의의 <math>\mathbf x'\in A</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>\delta_4>0</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>
따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)=g(\mathbf x)</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 열린집합이다. 또한 임의의 <math>\mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g,h</math>의 연속성에 의하여 <math>\mathbf x'\in A</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 닫힌집합이다. <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>는 [[연결 집합]]이며, 또한 <math>A\ne\varnothing</math>이므로, <math>A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>이다. 즉, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)=h(\mathbf x)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 연속 미분 가능성과 도함수 공식을 증명하자. 임의의 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math> 및 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, [[평균값 정리]]에 따라 다음을 만족시키는 <math>0<\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)<1</math>가 존재한다.
:<math>\begin{align}0
&=f(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j,g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j))-f(\mathbf x',g(\mathbf x'))\\
&=\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j)
\Delta x_j+
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j)
(g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x'))
\end{align}</math>
따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x_j}(\mathbf x')
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\frac{g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x')}{\Delta x_j}\\
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\left(
-\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j,
g(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j))\bigg/
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j,
g(\mathbf x'+\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)\Delta x_j\mathbf e_j))
\right)\\
&=-\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf x',g(\mathbf x'))\bigg/
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x',g(\mathbf x'))
\end{align}</math>
즉, 음함수 정리의 도함수 공식이 성립하며, <math>(\partial f/\partial x_j)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>와 <math>(\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>가 연속 함수이므로, <math>g</math>는 연속 미분 가능 함수이다.
 
==== m>1 ====
음함수 정리는 어떤 방정식이 함수 형태로 나타낼 수 있을 [[충분 조건]]을 제시한다.
이제 <math>m>1</math>일 경우를 증명하자. 편의상 <math>\det((\partial(f_2,\dots,f_m)/\partial(y_2,\dots,y_m))(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0</math>이라고 가정하고, <math>V</math>의 원소를 <math>\mathbf y=(y_1,\mathbf y')</math>로 쓰자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}</math>가 존재하게 되는 충분히 작은 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.
* <math>\mathbf b'=\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)</math> 및 <math>y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)</math> 및 <math>i\in\{2,\dots,m\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))=0</math>
다음과 같은 함수 <math>F\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^m</math>를 정의하자.
:<math>F(\mathbf x,y_1)=f_1(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))
\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1),\;y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)</math>
그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)</math> 및 <math>y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\frac{\partial F}{\partial y_1}
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{j=2}^m\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\frac{\partial h_{j-1}}{\partial y_1}\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\frac{\partial f_1}{\partial(y_2,\dots,y_m)}
\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)^{-1}
\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial y_1}\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\sum_{i=2}^m\sum_{j=2}^m(-1)^{i+j}
\frac{\partial f_i}{\partial y_1}
\frac{\partial f_1}{\partial y_j}
\det\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_{i-1},f_{i+1},\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_{j-1},y_{j+1},\dots,y_m)}\right)\bigg/
\det\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)\\
&=\det\left(\frac{\partial(f_1,\dots,f_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\right)\bigg/
\det\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)
\end{align}
</math>
따라서 <math>(\partial F/\partial y_1)(\mathbf a,b_1)\ne 0</math>이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>g_1\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>가 존재하게 되는 <math>0<\delta_2<\delta_1</math>가 존재한다.
* <math>b_1=g_1(\mathbf a)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0</math>
이제 <math>\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathbf g(\mathbf x)=(g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
그렇다면, <math>\mathbf g</math>는 연속 미분 가능 함수이며, 다음이 성립한다.
:<math>f_1(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
:<math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=f_i(\mathbf x,g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;i\in\{2,\dots,m\}</math>
:<math>\mathbf g(\mathbf a)=(g_1(\mathbf a),\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1))=\mathbf b</math>
각 <math>i\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0</math> 양변에 <math>\partial/\partial x_j</math>를 취하면, [[연쇄 법칙]]에 따라 다음을 얻으며, 이에 따라 도함수 공식이 성립한다.
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0</math>
이제 <math>\mathbf g</math>의 유일성을 증명하자. <math>\tilde\mathbf h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m</math>가 같은 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 <math>\mathbf g</math>와 <math>\mathbf h</math>는 모든 편도함수가 같으므로, <math>\mathbf g-\mathbf h</math>는 상수 함수이다. 또한 <math>\mathbf g(\mathbf a)=\mathbf h(\mathbf a)=\mathbf b</math>이므로, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여 <math>\mathbf g(\mathbf x)=\mathbf h(\mathbf x)</math>이다.
 
== 서술 ==
=== 단일닫힌 이변수형식으로 방정식에나타낼 대한 음함수없는 정리함수 ===
어떤 <math>0<\epsilon<1</math>에 대하여, [[케플러 방정식]]
두 [[실수]] [[열린구간]] <math>K\ni a</math> 및 <math>L\ni b</math>의 [[곱집합]] <math>K\times L</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>z=F(x,y)</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* :<math>F(a,b)x=0y-\epsilon\sin y</math>
을 생각하자. 다음과 같은 함수 <math>f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>를 정의하자.
* <math>F</math>는 <math>K\times L</math>에서 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 <math>F</math>의 [[편도함수]] <math>F_x'</math>와 <math>F_y'</math>가 존재하며 둘 다 <math>K\times L</math>에서 [[연속 함수]]이다.
* :<math>F_y'f(ax,by)=y-x-\ne0epsilon\sin y\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
그렇다면, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
'''음함수 정리'''에 따르면 어떤 두 부분 열린구간 <math>a\in I\subseteq K</math>와 <math>b\in J\subseteq L</math>의 곱집합 <math>I\times J</math>에서, 방정식
:<math>F\lim_{y\to-\infty}f(x,y)=-\infty,\;\lim_{y\to\infty}f(x,y)=0\infty</math>
:<math>f_y(x,y)=1-\epsilon\cos y>0\qquad\forall y\in\mathbb R</math>
은 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 [[함수]] 관계 <math>y=f(x)</math>를 결정한다. 즉 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>F(x,y)=0</math>인 유일한 <math>y\in J</math>가 존재한다. 또한, <math>f</math>는 <math>I\times J</math>에서 [[연속 미분 가능 함수]]이며 그 [[도함수]]는 다음과 같다.
이므로, <math>f(x,g(x))=0</math>인 유일한 <math>g(x)\in\mathbb R</math>가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 <math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 <math>\mathcal C^\infty</math> 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (<math>\mathcal C^\infty</math>) 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수 <math>g</math>는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.
:<math>f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}\qquad(x\in I)</math>
:<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}\qquad(x\in I)</math>
 
=== 충분 조건의 비필요성 ===
=== 연립 다변수 방정식에 대한 음함수 정리 ===
다음과 같은 대상들이함수 주어졌다고<math>f\colon\mathbb 하자R^2\to\mathbb R</math>를 생각하자.
:<math>f(x,y)=|y|\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol a\in D\subseteq\mathbb R^n</math>
그렇다면, 방정식 <math>f(x,y)=0</math>는 다음과 같은 연속 함수 <math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>와 동치이다.
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol b\in\Omega\subseteq\mathbb R^m</math>
* 함수 :<math>\boldsymbol zg(x)=0\boldsymbol F(qquad\boldsymbolforall x,\boldsymbol y)\colon D\times\Omega\toin\mathbb R^m</math>
따라서, <math>f</math>는 <math>(0,0)</math>에서 음함수 정리의 결론을 만족시킨다. 그러나, <math>f_y(0,0)</math>는 존재하지 않는다. 다음과 같은 함수 <math>\tilde f\!\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>를 생각하자.
(따라서 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\in D\times\Omega\subseteq\mathbb R^{n+m}</math>이다.)
:<math>\tilde f\!(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
 
그렇다면, 방정식 <math>\tilde f\!(x,y)=0</math>는 같은 함수 <math>g</math>와 동치이나, <math>\tilde f\!_y(0,0)=0</math>이다.
이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>\boldsymbol F(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\boldsymbol 0</math>
* <math>\boldsymbol F\in\mathcal C^1(D\times\Omega;\mathbb R^m)</math>. 즉 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 모든 변수에 대한 [[편도함수]]가 [[연속 함수]]로서 존재한다.
* <math>\det\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol y}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\ne0</math>. 즉 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)</math>에서 <math>\boldsymbol y</math>에 대한 편도함수 행렬이 [[가역 행렬]]이다.
 
'''음함수 정리'''에 따르면 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\boldsymbol y=\boldsymbol f(\boldsymbol x)\colon U\to V</math>가 어떤 두 연결 열린집합 <math>\boldsymbol a\in U\subseteq D</math>와 <math>\boldsymbol b\in V\subseteq\Omega</math> 사이에 유일하게 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=326|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
* <math>\boldsymbol b=\boldsymbol f(\boldsymbol a)</math>
* 임의의 <math>\boldsymbol x\in U</math>에 대하여 <math>\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))=0</math>
* <math>\boldsymbol f\in\mathcal C^1(U)</math>
또한 <math>f</math>의 [[야코비 행렬]]은 다음과 같다.
:<math>\boldsymbol J_\boldsymbol f(\boldsymbol x)
=-\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol y}^{-1}(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))
\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol x}(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
:<math>\frac{\partial(y_1,y_2,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,x_2,\ldots,x_n)}
=-\left(\frac{\partial(F_1,F_2,\ldots,F_m)}{\partial(y_1,y_2,\ldots,y_m)}\right)^{-1}
\frac{\partial(F_1,F_2,\ldots,F_m)}{\partial(x_1,x_2,\ldots,x_n)}\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
 
== 같이 보기 ==
== 각주 ==
{{각주}}
 
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}
 
[[분류:미적분학 정리]]