"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

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* 임의의 <math>\mathbf x\in W</math>에 대하여, <math>\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0</math>
또한, <math>\mathbf g</math>의 도함수는 다음과 같다.
:<math>\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=-\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf y}\right)^{-1}\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x}\right)\qquad\forall\mathbf x\in W</math>
\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf y}(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\right)^{-1}
\left(\frac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x}(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\right)\qquad\forall\mathbf x\in W</math>
이를 '''음함수 정리'''라고 한다.<ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>{{rp|326}} <math>k\in\{1,2,\dots,\}</math>에 대하여, 만약 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>\mathbf g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다. <math>m=1</math>일 경우, 만약 <math>f</math>의 연속 미분 가능성 대신 <math>f</math>와 <math>\partial f/\partial y</math>의 연속성만을 가정하면, 유일한 연속 음함수 <math>g</math>는 여전히 국소적으로 존재하나, <math>g</math>의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
* 임의의 <math>x\in W</math>에 대하여, <math>f(x,g(x))=0</math>
또한, 만약 <math>\partial f/\partial x</math> 역시 연속 함수라면, <math>g</math>는 연속 미분 가능 함수이며, <math>g</math>의 도함수는 다음과 같다.
:<math>g'(x)=-\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))\bigg/\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))\qquad\forall x\in W</math>
이는 음함수 정리의 가장 간단한 경우이다. 마찬가지로, <math>k\in\{1,2,\dots,\}</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다.