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* <math>\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>
따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)=g(\mathbf x)</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 열린집합이다. 또한 임의의 <math>\mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g,h</math>의 연속성에 의하여 <math>\mathbf x'\in A</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 닫힌집합이다. <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>는 [[연결 집합]]이며, 또한 <math>A\ne\varnothing</math>이므로, <math>A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>이다. 즉, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)=h(\mathbf x)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 연속 미분 가능성과 도함수 공식을 증명하자. 임의의 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math> 및 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여,
:<math> 그러면 [[평균값 정리]]에 따라 다음을 만족시키는 <math>0<\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)<1</math>가 존재한다.
:<math>\begin{align}0
&=f(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j,g(\mathbf x')+\Delta
&=
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x'+\theta
(g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x'))▼
\end{align}</math>
따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x_j}(\mathbf x')
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\frac{
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\left(
-\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf x'+\theta
\right)\\
&=-
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x',g(\mathbf x'))
\end{align}</math>
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