"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

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이 방정식을 만족시키는 [[연속 함수]]는 <math>[-1,1]\times\mathbb R</math>에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 <math>(0,1)</math>을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>z=x^2+y^2-1\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
이렇게 정의한 <math>F</math>의 그래프는 <math>\mathbb R^3</math>에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 <math>z=0</math>의 교선이다. <math>(0,1)</math> 주변에서 <math>x'^2+y'^2-1=0</math>인 점 <math>(x',y')</math>을 임의로 취하자. 여기에는 특히 <math>(x',y')=(0,1)</math> 역시 포함된다. <math>x=x'</math>가 고정되었을 때, <math>z={x'}^2+y^2-1</math>는 <math>y=y'</math> 주변에서 <math>y</math>에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 <math>y<y'</math>에 대하여 <math>z<0</math>이 성립하며, <math>y>y'</math>에 대하여 <math>z>0</math>이 성립한다. 따라서 <math>z=x^2+y^2-1</math>의 영점 집합은 <math>(0,1)</math>에서 국소적으로 어떤 함수 <math>y=y(x)</math>의 그래프와 일치한다. <math>z</math>가 <math>y</math>에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 <math>\partial z/\partial y\ne 0</math>이며이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 <math>(1,0)</math>을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이를이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 <math>\partial z/\partial y\ne 0</math>은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립
:<math>z_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0</math>
:<math>\vdots</math>
에서 <math>(y_1,\dots,y_m)</math>가 국소적으로 <math>(x_1,\dots,x_n)</math>의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.
:<math>\det\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0</math>
등식의부등식의 좌변은 함수 <math>z_1,\dots,z_m</math>의 변수 <math>y_1,\dots,y_m</math>에 대한 [[야코비 행렬식]]이다. 특히, 만약
:<math>z_1=a_{11}x_1+\cdots a_{1n}x_n+b_{11}y_1+\cdots+b_{1m}y_m</math>
:<math>\vdots</math>