"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

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[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>V\subseteq\mathbb R^m</math>의 곱집합 <math>U\times V</math>의 원소를 <math>(\mathbf x,\mathbf y)</math> (<math>\mathbf x\in U</math>, <math>\mathbf y\in V</math>)로 쓰자. [[연속 미분 가능 함수]] <math>\mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^m</math>가 점 <math>(\mathbf a,\mathbf b)\in U\times V</math>에서 다음을 만족시킨다고 하자.
* <math>\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf 0</math>
* <math>\det\fracmathrm D_{\partial\mathbf fy}{\partial\mathbf y}f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0</math>
여기서 <math>(\partialmathrm D_{\mathbf f/\partialy}\mathbf yf)_{ij}=\partial f_i/\partial y_j</math>이다. 그렇다면, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\mathbf g\colon W\to\mathbb R^m</math>가 존재하게 되는 [[열린집합]] <math>\mathbf a\in W\subseteq U</math>가 존재한다.
* <math>\mathbf b=\mathbf g(\mathbf a)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in W</math>에 대하여, <math>\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0</math>
 
또한, <math>\mathbf g</math>의 도함수는도함수 <math>\mathrm D\mathbf g</math>는 다음과 같다.
 
:<math>\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=-
\left(\fracmathrm D_{\partial\mathbf fy}{\partial\mathbf y}f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\right)^{-1}
\left(\fracmathrm D_{\partial\mathbf fx}{\partial\mathbf x}f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\right)\qquad\forall\mathbf x\in W</math>
이를 '''음함수 정리'''라고 한다.<ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>{{rp|326}} <math>k\in\{1,2,\dots\}</math>에 대하여, 만약 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>\mathbf g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다. <math>m=1</math>일 경우, 만약 <math>f</math>의 연속 미분 가능성 대신 <math>f</math>와 <math>\partial f/\partial y</math>의 연속성만을 가정하면, 유일한 연속 음함수 <math>g</math>는 여전히 국소적으로 존재하나, <math>g</math>의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
 
==== m>1 ====
이제 <math>m>1</math>일 경우를 증명하자. 편의상 <math>\det((\partial(f_2,\dots,f_m)V</math>의 원소를 <math>\partialmathbf y=(y_2y_1,\dots,y_m))(tilde\mathbf a,\mathbf by))\ne 0</math>이라고 가정하고쓰고, <math>V\mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)</math> 원소를같이 표기하자. 또한 <math>\det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y=}\tilde\mathbf f\!(y_1\mathbf a,\mathbf y'b))\ne 0</math>이라고 쓰자가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}</math>가 존재하게 되는 충분히 작은 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.
 
* <math>\mathbf b'=\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)</math> 및 <math>y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)</math> 및 <math>i\in\{2,\dots,m\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))=0</math>
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{j=2}^m\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\frac{\partial h_{j-1}}{\partial y_1}\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\mathrm D_{\tilde\mathrm y}f_1
\frac{\partial f_1}{\partial(y_2,\dots,y_m)}
(\mathrm D_{\tilde\mathrm y}\tilde f)^{-1}
\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)^{-1}
\mathrm D_{y_1}\tilde f\\
\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial y_1}\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\sum_{i=2}^m\sum_{j=2}^m(-1)^{i+j}
\frac 1{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}
\frac{\partial f_i}{\partial y_1}
\frac{\partial f_1}{\partial y_j}
\det\left(\fracmathrm D_{\partial(f_2y_2,\dots,f_y_{ij-1},f_y_{ij+1},\dots,f_my_m)}{\partial(y_2f_2,\dots,y_f_{ji-1},y_f_{ji+1},\dots,y_mf_m)}\right)\bigg/
\\
\det\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)\\
&=\frac{\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f}{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}
&=\det\left(\frac{\partial(f_1,\dots,f_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\right)\bigg/
\det\left(\frac{\partial(f_2,\dots,f_m)}{\partial(y_2,\dots,y_m)}\right)
\end{align}
</math>
:<math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=f_i(\mathbf x,g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;i\in\{2,\dots,m\}</math>
:<math>\mathbf g(\mathbf a)=(g_1(\mathbf a),\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1))=\mathbf b</math>
각 <math>i\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0</math> 양변에 <math>\partial/\partial x_j</math>를 취하면, [[연쇄 법칙]]에 따라 다음을 얻으며, 이에 따라 도함수 공식이 성립한다.
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0</math>
이제 <math>\mathbf g</math>의 유일성을 증명하자. <math>\mathbf h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m</math>가 같은 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 <math>\mathbf g</math>와 <math>\mathbf h</math>는 모든 편도함수가 같으므로, <math>\mathbf g-\mathbf h</math>는 상수 함수이다. 또한 <math>\mathbf g(\mathbf a)=\mathbf h(\mathbf a)=\mathbf b</math>이므로, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여 <math>\mathbf g(\mathbf x)=\mathbf h(\mathbf x)</math>이다.
그렇다면, 방정식 <math>f(x,y)=0</math>는 다음과 같은 연속 함수 <math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>와 동치이다.
:<math>g(x)=0\qquad\forall x\in\mathbb R</math>
따라서, <math>f</math>는 <math>(0,0)</math>에서 음함수 정리의 결론을 만족시킨다. 그러나, <math>f_y(0,0)</math>는 존재하지 않는다. 다음과 같은 함수 <math>\tilde f\!\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>를 생각하자.
 
:<math>\tilde f\!(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
다음과 같은 함수 <math>f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>를 생각하자.
그렇다면, 방정식 <math>\tilde f\!(x,y)=0</math>는 같은 함수 <math>g</math>와 동치이나, <math>\tilde f\!_y(0,0)=0</math>이다.
 
:<math>\tilde f\!(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
 
그렇다면, 방정식 <math>\tilde f\!(x,y)=0</math>는 같은 함수 <math>g</math>와 동치이나, <math>\tilde f\!_yf_y(0,0)=0</math>이다.
 
== 같이 보기 ==