"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

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:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0</math>
이제 <math>\mathbf g</math>의 유일성을 증명하자. <math>\mathbf h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m</math>가 같은 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 <math>\mathbf g</math>와 <math>\mathbf h</math>는 모든 편도함수가 같으므로, <math>\mathbf g-\mathbf h</math>는 상수 함수이다. 또한 <math>\mathbf g(\mathbf a)=\mathbf h(\mathbf a)=\mathbf b</math>이므로, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여 <math>\mathbf g(\mathbf x)=\mathbf h(\mathbf x)</math>이다.
 
=== 바나흐 고정점 정리를 통한 증명 ===
다음과 같은 함수 <math>\mathbf F\colon U\times V\to\mathbb R^m</math>를 정의하자.
:<math>\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)=\mathbf y-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b))^{-1}
\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in V</math>
그러면 다음이 성립한다.
:<math>\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)=1_{m\times m}-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in V</math>
따라서 <math>\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf a,\mathbf b)=0_{m\times m}</math>이다. 또한 <math>\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0</math>이므로, <math>0<c<1</math>를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.
* <math>\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U</math>
* <math>\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq V</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)</math> 및 <math>\mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>에 대하여, <math>\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)<c</math>이며 <math>\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)\ne 0</math>
또한, <math>\mathbf F(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf b</math>이므로, 다음을 만족시키는 <math>0<\delta_2<\delta_1</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>\Vert\mathbf F(\mathbf x,\mathbf b)-\mathbf b\Vert<(1-c)\delta_1</math>
이제 임의의 <math>\mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>\mathbf F(\mathbf x',\cdot)</math>가 <math>\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math> 위의 <math>c</math>-[[립시츠 연속 함수]]임을 증명하자. 우선 임의의 <math>\mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>0<\theta(\mathbf x',\mathbf y)<1</math>가 존재한다.
:<math>\begin{align}\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf b\Vert
&\le\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)\Vert
+\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)-\mathbf b\Vert\\
&\le\Vert\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b+\theta(\mathbf y-\mathbf b))\Vert\Vert\mathbf y-\mathbf b\Vert+
\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)-\mathbf b\Vert\\
&<(1-c)\delta_1+c\delta_1\\
&=\delta_1
\end{align}</math>
따라서 <math>\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)\in\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>이다. 또한, 임의의 <math>\mathbf y,\mathbf z\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>0<\theta(\mathbf x',\mathbf y,\mathbf z)<1</math>가 존재한다.
:<math>\begin{align}\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf z)\Vert
&\le\Vert\mathrm D_{\mathrm y}\mathbf F(\mathbf x',\mathbf z+\theta(\mathbf y-\mathbf z)\Vert\Vert\mathbf y-\mathbf z\Vert\\
&\le c\Vert\mathbf y-\mathbf z\Vert
\end{align}</math>
즉, <math>\mathbf F(\mathbf x',\cdot)</math>는 <math>\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math> 위의 <math>c</math>-[[립시츠 연속 함수]]이다. 또한 <math>(\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1),\Vert\cdot\Vert)</math>는 [[바나흐 공간]]이므로, [[바나흐 고정점 정리]]에 따라 <math>\mathbf F(\mathbf x',\cdot)</math>는 <math>\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>에서 유일한 고정점 <math>\mathbf g(\mathbf x')\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)</math>를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))=\mathbf 0</math>
이제 이렇게 정의한 <math>\mathbf g\colon\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m</math>가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert
&=\Vert\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x))-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Vert\\
&\le\Vert
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x))-
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'))\Vert+\Vert
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'))-
\mathbf F(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Vert\\
&\le c\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert+c'\Vert\Delta\mathbf x\Vert
\end{align}</math>
:<math>c'=\sup_{\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;\mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)}
\Vert\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)\Vert</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\Vert\mathbf g(\mathbf x+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x)\Vert\le\frac{c'}{1-c}\Vert\Delta\mathbf x\Vert</math>
따라서 <math>\mathbf g</math>는 연속 함수가 맞다. 이제 <math>\mathbf g</math>의 연속 미분 가능성과 도함수를 증명하자. 임의의 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
:<math>\Delta\mathbf y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x)=\mathbf g(\mathbf x+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x)</math>
그러면 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\Vert\Delta\mathbf y+
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert
&\le\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}\Vert\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))\Delta\mathbf y+
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert\\
&=\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}\Vert\Vert
\mathbf f(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x')+\Delta\mathbf y)-\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))\Delta\mathbf y-
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert\\
&=o(\Vert\Delta\mathbf x\Vert)\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)
\end{align}</math>
마지막 등호는 <math>\Vert\Delta\mathbf y\Vert\le(c'/(1-c))\Vert\Delta\mathbf x\Vert</math> 때문이다. 따라서 <math>\mathbf g</math>의 도함수 공식이 성립하며, <math>\mathbf g</math>는 연속 미분 가능 함수이다.
 
== 예 ==