음함수 정리: 두 판 사이의 차이

[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^{n+m}</math>에 및정의된 [[연속 미분 가능 함수]] <math>V\subseteqmathbf f\colon U\to\mathbb R^m</math>의가 곱집합 <math>U\times V</math>의 원소를점 <math>(\mathbf xa,\mathbf yb)</math> (<math>\mathbf x\in U</math>, (<math>\mathbf ya\in V</math>)로 쓰자. [[연속 미분 가능 함수]] <math>\mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^mn</math>가 점, <math>(\mathbf a,\mathbf b)\in U\timesmathbb VR^m</math>)에서 다음을 만족시킨다고 하자.

여기서 <math>(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial y_j</math>이다. 그렇다면, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\mathbf g\colon WV\to\mathbb R^m</math>가 존재하게 되는 [[열린집합]] <math>\mathbf a\in WV\subseteq\mathbb UR^n</math>가 존재한다.

\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\qquad\forall\mathbf x\in WV</math>

열린구간열린집합 <math>U,V\subseteq\mathbb R</math>의 곱집합 <math>U\times V^2</math>에 정의된 [[연속 함수]] <math>f\colon U\times V\to\mathbb R</math>의 둘째 [[편도함수]] <math>\partial f/\partial y</math>가 연속 함수이며함수라고 하자. 또한, <math>f</math>가 점 <math>(a,b)\in U\times V</math>에서 다음을 만족시킨다고 하자.

* <math>\frac{(\partial f}{/\partial y})(a,b)\ne 0</math>

그렇다면, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 <math>g\colon WV\to\mathbb R</math>가 존재하게 되는 열린구간열린집합 <math>a\in WV\subseteq\mathbb UR</math>가 존재한다.

* <math>b=V\times g(aV)\subseteq U</math>

*<math>b=g(a)</math>
* 임의의 <math>x\in WV</math>에 대하여, <math>f(x,g(x))=0</math>

:<math>g'(x)=-\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))\bigg/\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))\qquad\forall x\in WV</math>

이는 음함수 정리의정리에서 가장 간단한<math>n=m=1</math>인 경우이다. 마찬가지로, <math>k\in\{1,2,\dots\}</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라고 가정하면, <math>g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수가 된다.

* <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b,\delta_1)\subseteq U</math>

따라서, 임의의 <math>\mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x',y)</math>는 <math>\operatorname B(b,\delta_1)</math>에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, [[중간값 정리]]에 따라 <math>f(\mathbf x',g(\mathbf x'))=0</math>인 유일한 <math>g(\mathbf x')\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 <math>g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\times g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq U</math>를 만족시키고, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여 <math>f(\mathbf x,g(\mathbf x))=0</math>를 만족시키며, 특히 <math>b=g(\mathbf a)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 연속성을 증명하자. 임의의 <math>\mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math> 및 충분히 작은 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x',g(\mathbf x')-\epsilon)<0<f(\mathbf x',g(\mathbf x')+\epsilon)</math>이므로, 다음을 만족시키는 <math>\delta_3>0</math>가 존재한다.

우선 임의의 <math>\mathbf x'\in A</math>에 대하여, <math>h</math>에 의하여, 다음을 만족시키는 <math>\delta_4>0</math>가 존재한다.

이제 <math>m>1</math>일 경우를 증명하자. 편의상 <math>V\mathbb R^m</math>의 원소를 <math>\mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)</math>로 쓰고, <math>\mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)</math>와 같이 표기하자. 또한 <math>\det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0</math>이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}</math>가 존재하게 되는 충분히 작은 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.

* <math>(\operatorname B(\mathbf b'=a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\times\tilde\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\subseteq U</math>

* <math>b_1=g_1(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq\operatorname B(b_1,\delta_1)</math>

다음과 같은 함수 <math>\mathbf F\colon U\times V\to\mathbb R^m</math>를 정의하자.

\qquad\forall(\mathbf x\in U,\;\mathbf y)\in VU</math>

\qquad\forall(\mathbf x\in U,\;\mathbf y)\in VU</math>

* <math>\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname\bar B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq U</math>