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1번째 줄: [[상미분 방정식]] 이론에서, '''스튀름-리우빌 연산자'''({{llang\|en\|Sturm–Liouville operator}})는 이산 [[스펙트럼 (함수해석학)\|스펙트럼]]을 갖는 특별한 형태의 2차 [[미분 연산자]]이다. 그 [[고유 함수]]에 대한 2차 [[상미분 방정식]]을 '''스튀름-리우빌 방정식'''이라고 하며, 이에 대한 이론을 '''스튀름-리우빌 이론'''({{llang\|en\|Sturm–Liouville theory}})이라고 한다. 모든 2차 [[상미분 방정식]]은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다. ~~[[수학]]에서, '''스튀름-리우빌 이론'''({{llang\|en\|Sturm–Liouville theory}})은 2차 선형 [[미분 방정식]]을 다루는 이론이다. [[물리학]]에 널리 응용된다.~~ == 정의 == 실수의 [[닫힌구간]] <math>[a,b] \subsetneq \mathbb R</math>이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 [[연속 미분 가능 함수]]에 대한 '''스튀름-리우빌 연산자'''~~({{llang\|en\|Sturm–Liouville operator}})~~는 다음과 같은 꼴의 2차 [[미분 연산자]]이다. :<math>D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)</math> :<math>D = \frac1{w(x)}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}p(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}+q(x)\right) = \~~frac1~~frac{p(x)}{w(x)} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + \frac1{w(x)}p'(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} 14번째 줄: * <math>q \colon [a,b] \to \mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이다. * <math>w \colon [a,b] \to \mathbb R^+</math>는 양의 실수 값의 [[연속 함수]]이다. (이를 '''무게 함수''' {{llang\|en\|weight function}}라고 한다.) ~~이는 사실 [[힐베르트 공간]]~~ [[닫힌구간]] <math>[a,b]</math> 위의 '''로뱅 경계 조건'''(Robin境界條件, {{llang\|en\|Robin boundary condition}})이란 <math>[a,b]</math> 위의 [[연속 미분 가능 함수]]에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다. :<math>\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math>▼ :<math>\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math>▼ 여기서, 다음 조건이 성립해야 한다. * ~~경계 조건에서~~ <math>\alpha_a</math> 또는 <math>\beta_a</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 <math>\alpha_b</math> 또는 <math>\beta_b</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니다.▼ 즉, <math>[\alpha_a:\beta_a]</math>와 <math>[\alpha_b:\beta_b]</math>는 각각 실수 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}</math>의 두 점의 [[동차 좌표]]를 이룬다. 로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 [[힐베르트 공간]] :<math>H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx) = \left\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R) 줄 20 ⟶ 28: \right \} </math> 위의 [[자기 수반 작용소]]를로 ~~이룬다~~유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다. 스튀름-리우빌 연산자의 [[고유 함수]] 방정식 줄 32 ⟶ 40: == 성질 == === 해의 힐베르트 공간 === <math>[a,b]</math> 위의 무게 함수 ~~다음과 같은 꼴의 스튀름-리우빌 문제를 '''정칙 스튀름-리우빌 문제'''(正則Sturm-Liouville問題, {{llang\|en\|regular Sturm–Liouville problem}})라고 하자.~~ * :<math>pw \colon [a,b] \to \mathbb R~~</math>는 [[연속 미분 가능 함수\|<math>\mathcal C~~^1+</math> ~~함수]]이다.~~ 에 대한 스튀름-리우빌 연산자 * <math>q \colon [a,b] \to \mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이다. * :<math>wD \colon \operatorname L^2([a,b] ,w)\to \~~mathbb~~operatorname RL^2([a,b],w)</math>~~는 [[연속 함수]]이다.~~ 가 ~~스튀름-리우빌~~주어졌다고 ~~문제의~~하자. 해에그렇다면, ~~해당하는~~그 ~~고윳값의~~[[스펙트럼 ~~집합은~~(함수해석학)\|스펙트럼]]은 [[가산 집합]]이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.▼ 미지의 함수 <math>y \colon [a,b] \to \mathbb R</math>는 <math>\mathcal C^1</math> 함수이며, 다음과 같은 [[경계 조건]]을 따른다. ▲:<math>\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math> ▲:<math>\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)</math> ▲* 경계 조건에서 <math>\alpha_a</math> 또는 <math>\beta_a</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 <math>\alpha_b</math> 또는 <math>\beta_b</math> 가운데 하나 이상이 0이 아니다. ~~정칙 스튀름-리우빌 문제의 경우, 다음이 성립한다.~~ ▲* 스튀름-리우빌 문제의 해에 해당하는 고윳값의 집합은 [[가산 집합]]이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다. :<math>\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb </math> :<math>\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty</math> * 각 고윳값 <math>\lambda_i</math>에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 [[연속 미분 가능 함수]]로 구성된다. 또한, 이 함수는 [[열린구간]] <math>(a,b)</math> 속에서 정확히 <math>i</math>개의 영점을 갖는다. * [[실수 힐베르트 공간]] <math>H=\operatorname L^2([a,b], w(x)\,\mathrm dx)</math> 속에서 노름이 1인 고유 함수 <math>y_i \colon [a,b]\to\mathbb R</math>를 고를 수 있으며, 이렇게 정규화한 고유 함수는 <math>H</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. 이러한 고유 함수들의 집합 <math>\{y_0,y_1,\dotsc\}</math>은 <math>H</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. :<math>\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}</math> 줄 52 ⟶ 56: 일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자. : <math>P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,</math> 양변을 ''P''(''x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자 : <math>~~e^{~~\exp\left(\int \frac{Q(x) / }{P(x)}\,dx},\right)</math> 를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다. 줄 64 ⟶ 68: 은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다. : <math>(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0</math> 즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는 :<math>-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right) + \nu^2/x-\lambda^2 x</math> 이다. === 르장드르 방정식 === 줄 94 ⟶ 101: == 외부 링크 == {{eom\|title=Sturm-Liouville operator}} * {{eom\|title=Sturm-Liouville theory}} * {{eom\|title=Sturm-Liouville problem}} * {{eom\|title=Sturm-Liouville equation}} * {{매스월드\|id=Sturm-LiouvilleEquation\|title=Sturm-Liouville equation}} * {{nlab\|id=Sturm-Liouville theory}} [[분류:연산자 이론]]

스튀름-리우빌 연산자: 두 판 사이의 차이