음함수 정리: 두 판 사이의 차이

* <math>b=h(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq V</math>

따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)=g(\mathbf x)</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 열린집합이다. 또한 임의의 <math>\mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g,h</math>의 연속성에 의하여 <math>\mathbf x'\in A</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 닫힌집합이다. <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>는 [[연결 집합]]이며, 또한 <math>A\ne\varnothing</math>이므로, <math>A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>이다. 즉, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)=h(\mathbf x)</math>이다. 이제 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수일 때 <math>g</math>의 연속<math>\mathcal 미분 가능성과C^k</math>성을 도함수보이고 공식을도함수를 증명하자구하자. 임의의 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math> 및 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

-\frac{(\partial f}{/\partial x_j})(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)\bigg/}{

\frac{(\partial f}{/\partial y})(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)}\right)

\right)\\

\frac{(\partial f}{/\partial x_j})(\mathbf x',g(\mathbf x'))\bigg/}{

\frac{(\partial f}{/\partial y})(\mathbf x',g(\mathbf x'))}

즉, 음함수 정리의 도함수 공식이 성립하며,또한 <math>(\partial f/\partial x_j)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>와 <math>(\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>가 연속 함수이므로, <math>g</math>는 연속 미분 가능 함수이다.

이제 <math>m>1</math>일 경우를 증명하자. <math>V</math>의 원소를 <math>\mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)</math>로 쓰고, <math>\mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)</math>와 같이 표기하자. 또한 편의상 <math>\det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0</math>이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}</math>가 존재하게 되는 충분히 작은 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.

* <math>\mathbf b'=\tilde\mathbfoperatorname gB(\mathbf a,b_1\delta_1)\subseteq U</math>

따라서 <math>(\partial F/\partial y_1)(\mathbf a,b_1)\ne 0</math>이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 미분 가능 함수 <math>g_1\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>가 존재하게 되는 <math>0<\delta_2<\delta_1</math>가 존재한다.

* <math>b_1=g_1(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq\operatorname B(b_1,\delta_1)</math>

그렇다면, <math>\mathbf g</math>는 연속 미분 가능 함수이며, 다음이 성립한다.

이러한 <math>\mathbf g</math>의 유일성은 <math>m=1</math>의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라면, 각 <math>i\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0</math>의 양변에 <math>\partial/\partial x_j</math>를 취하면, [[연쇄 법칙]]에 따라 다음을 얻으며, 이에 따라 도함수 공식이 성립한다얻는다.

따라서 <math>\mathbf g</math>는 연속 함수가 맞다. <math>\mathbf g</math>의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수일 때 <math>\mathbf g</math>의 연속<math>\mathcal 미분C^k</math>성을 가능성과보이고 도함수를 증명하자구하자. 임의의 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

마지막 등호는 <math>\Vert\Delta\mathbf y\Vert\le(c'/(1-c))\Vert\Delta\mathbf x\Vert</math> 때문이다. 따라서 <math>\mathbf g</math>의 도함수 공식이 성립하며즉, <math>\mathbf g</math>는 연속 미분 가능 함수이다.