"아폴로니오스의 문제"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|섬네일|right|그림 2: 아폴로니오스의 문제에 대한 해답 8가지. 주어진 원은 검은색이다.]]
 
'''아폴로니오스의 문제'''란 [[유클리드 기하학]]에서 평면에 주어진 3개의 원에 접하는 원을 그리는 것이다.(그림 1). [[페르가의페르게의 아폴로니오스]](ca. 262 BC – ca. 190 BC)는 이 유명한 문제를 제창하고 그의 저서인 {{lang|el| Ἐπαφαί}} (''{{lang|el-Latn|Epaphaí}}'', "접촉상태")에서 답을 제시하였다. 그의 저서는 전하지 않지만, [[알렉산드리아의 파푸스]]에 의해 4세기에 작성된 보고서에 그의 해제가 실려있다. 주어진 3개의 원에 접하는 원은 8개였으며(그림 2) 각 해제는 주어진 3개의 원에 다른 방법으로 내접하거나 외접한다.
 
16세기에 [[아드리안 판 루멘]]은 이 문제를 교차하는 [[쌍곡선]]을 이용해서 풀었지만, 이 해제는 단순한 [[작도]]만을 이용해서 나온것은 아니었다. [[프랑소와 비에트]]는 추론을 이용해 문제를 풀었으며, 주어진 3개원의 반지름을 0에 가깝게 하거나 무한으로 증가시켜 [[선 (기하학)|선]]으로 확장하는 두 경우를 고려했다. 비에트의 방법을 이용해 간단한 추론을 이용해 이런 난해한 문제를 해결할 수 있으므로 아폴로니오스가 사용했던 방법의 재현으로 널리 인정되고 있다. [[아이작 뉴턴]]은 판 루멘이 사용한 방법을 간소화하였으며, 그는 아폴로니오스의 문제를 푸는 것은 한 점에서 주어진 3개의 점까지의 거리의 차이를 찾는 과정과 동등하다고 하였다. 해제는 [[항행]]과 위치결정과 같은 일상에 적용될 수 있다.
 
이후 수학자들은 [[대수학|대수학법]]을 이용해 기하학 문제를 [[대수학방정식방정식|대수방정식]]으로 바꾸는 방법을 고안했다. 이러한 방법은 아폴로니오스의 문제에 있는 [[대칭성]]을 통해 간소화 되었다. [[조지프 디아 게르곤]]은 이러한 대칭성을 이용해 간단한 해법을 제시했으며, 다른 수학자들은 [[역기하학|원에서의 반영]]과 같은 [[변환 (수학)|변환]]법을 이용해 주어진 원의 배치를 간소화 했다.
 
아폴로니오스의 문제는 다른 연구를 촉진시키기도 하였다. 주어진 4개의 [[구 (기하학)|구]]에 접하는 구를 찾는 3차원 상의 일반화나 더욱 높은 차원에서의 상황도 연구되었다. 공통적으로 접하는 원 3개의 배치는 가장 집중적인 주목을 받았다. [[르네 데카르트]]는 해답의 원과 주어진 원의 반지름을 관계짓는 공식을 만들었으며, 이는 현재 [[데카르트 정리]]로 알려져 있다. 이 경우 아폴로니오스의 문제를 반복적으로 풀 경우 [[아폴로니안 개스킷]]으로 이어지며, 이는 인쇄된 매체에 실려있는 가장 오래된 [[프랙탈]]이며, [[:en:Ford Circle|포드 원]]과 [[하디-리틀우드 원 방법]]에 쓰이는 등 [[정수론]]에 중요하다.
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