2019년 4월 4일 (목) 16:09 판 편집 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 잔글 →‎정의 ← 이전 편집		2019년 4월 5일 (금) 18:35 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
4번째 줄: == 정의 == 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>번째 '''삼각수''' <math>\operatorname{Tri}(n)</math>는 다음과 같이 정의된다. :<math>\operatorname{Tri}(n)=\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2=\binom{n+1}2</math> 처음 몇 삼각수는 다음과 같다. :0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ... {{OEIS\|A000217}} 일화에 의하면, [[카를 프리드리히 가우스]]는 10살 때 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 선생님의 말을 듣고, 이러한 합을 1+100, 2+99와 같이 합이 101이 되는 50쌍의 수의 합으로 전환하여 5050임을 구하였다. 그러나 이야기의 진위와 상관 없이, 가우스는 이를 최초로 발견한 자가 아니다. == 성질 == === 연산에 대한 닫힘 === 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 표현할 수 있다는 정리가 있으며, 이는 [[카를 프리드리히 가우스]]가 [[1796년]] (가우스의 일기에 따르면 [[7월 10일]])에 증명하였다. 이 정리는 모든 자연수는 최대 <math>n</math> 개의 <math>n</math> 각수의 합으로 표현할 수 있다는 '''[[피에르 드 페르마\|페르마]]의 다각수정리'''의 한 경우이다. 두 정수 <math>a,b</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * 임의의 삼각수 <math>n</math>에 대하여, <math>an+b</math> 역시 삼각수이다. * <math>a</math>는 어떤 홀수의 제곱이며, <math>b=(a-1)/8</math>이다. 예를 들어, 만약 <math>n</math>이 삼각수라면, <math>9n+1</math>과 <math>25n+3</math> 및 <math>49n+6</math>은 역시 삼각수이다. === 항등식 === ~~<math>n</math>번째 삼각수의 제곱은 1의 세제곱부터 <math>n</math>의 세제곱까지의 합과 같다.~~ [[파일:Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg\|섬네일\|{{nowrap\|1=Tri(3)+Tri(4)=4<sup>2</sup>}}를 설명하는 그림]] 삼각수와 임의의 [[다각수\|<math>m</math>각수]]는 삼각수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. :<math>\operatorname{Pol}(m;n)=\operatorname{Tri}(n)+(m-3)\operatorname{Tri}(n-1)=n+(m-2)\operatorname{Tri}(n-1)</math> 특히, [[정사각수]]와 [[육각수 (수학)\|육각수]] 및 [[팔각수]]의 경우는 다음과 같다. :<math>n^2=\operatorname{Tri}(n-1)+\operatorname{Tri}(n)</math> :<math>n(2n-1)=\operatorname{Tri}(n)+3\operatorname{Tri}(n-1)=\operatorname{Tri}(2n-1)</math> :<math>n(3n-2)=6\operatorname{Tri}(n-1)+n</math> 첫째 등식에 따라, 두 연속된 삼각수의 합은 정사각수이다. 두 연속된 홀수째 또는 짝수째 삼각수의 합은 다음과 같다. :<math>\operatorname{Tri}(n-1)+\operatorname{Tri}(n+1)=2\operatorname{Tri}(n)+1</math> 삼각수는 선형 변환의 차이를 무시하면 홀수째 정사각수와 일치한다. 구체적으로, 다음이 성립한다. ~~== 사면체수 ==~~ :<math>(2n+1)^2=8\operatorname{Tri}(n)+1</math> ~~{{본문\|사면체수}}~~ '''삼각수'''의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사면체를 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 '''사면체수'''(四面體數, tertiary number)라고 한다. 삼각수는 다음과 같은 점화식을 갖는다. 제<math>n</math> 사면체수는 제1 삼각수에서부터 제<math>n</math> 삼각수까지의 합이고, 그 값 <math>N</math> 은 다시 <math>N = \frac {n(n+1)(n+2)} 6</math> 으로 쓸 수 있다. :<math>\operatorname{Tri}(m+n)=\operatorname{Tri}(m)+\operatorname{Tri}(n)+mn</math> :<math>\operatorname{Tri}(mn)=\operatorname{Tri}(m)\operatorname{Tri}(n)+\operatorname{Tri}(m-1)\operatorname{Tri}(n-1)</math> [[조합론]]적으로, 첫 번째 항등식의 좌변은 <math>m+n</math>개의 원소에서 2개를 고르는 [[중복 조합]]의 수이며, 우변은 이를 앞의 <math>m</math>개에서만 고르는 경우와 뒤의 <math>n</math>개에서만 고르는 경우 및 앞과 뒤에서 하나씩 고르는 경우와 같이 세 가지로 나눠 센 결과이다. 특히, 다음이 성립한다. :<math>\operatorname{Tri}(2n)=3\operatorname{Tri}(n)+\operatorname{Tri}(n-1)</math> :<math>\operatorname{Tri}(2n-1)=\operatorname{Tri}(n)+3\operatorname{Tri}(n-1)</math> :<math>\operatorname{Tri}(3n-1)=3\operatorname{Tri}(n)+6\operatorname{Tri}(n-1)</math> :<math>\operatorname{Tri}(n^2)=\operatorname{Tri}(n)^2+\operatorname{Tri}(n-1)^2</math> === 급수 공식 === ~~사면체수를 1항부터 써보면 다음과 같다.~~ [[파일:Nicomachus theorem.svg\|섬네일\|삼각수를 변의 길이로 하는 정사각형은 변의 길이가 1인 정사각형 1개, 변의 길이가 2인 정사각형 2개, 변의 길이가 3인 정사각형 3개 등으로 분할할된다. 따라서 ''n''번째 삼각수의 제곱은 1부터 ''n''까지의 자연수의 세제곱의 합과 같다.]] 삼각수의 제곱은 1부터 시작하는 연속된 자연수의 세제곱 합과 같다. 구체적으로, 다음이 성립한다. :<math>\operatorname{Tri}(n)^2=\sum_{k=1}^nk^3</math> 삼각수의 합은 [[사면체수]]로 주어진다. 구체적으로, 다음이 성립한다. ~~1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, ...~~ :<math>\sum_{k=1}^n\operatorname{Tri}(k)=\frac{n(n+1)(n+2)}6</math> === 생성 함수 === 나아가 한번 일반화시키면, 삼각수에서 사면체수를 알아낸 것과 마찬가지로 사면체수의 합으로 4차원 공간에서의 삼각수인 5포체수를 정의할 수 있다. 일반 차원의 공간(여기에서는 <math>r</math> 차원)까지 개념의 확장을 실시했을 때, 제<math>n</math> 번째의 그 수 <math>T_r(n)</math>은 삼각수는 다음과 같은 [[생성 함수]]를 갖는다. :<math>\sum_{n=0}^\infty\operatorname{Tri}(n)x^n=\frac x{(1-x)^3}</math> :<math>\sum_{n=0}^\infty x^{\operatorname{Tri}(n)}=\prod_{n=1}^\infty\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}}</math> === 수론적 성질 === ~~:<math>T_r(n) = \prod^{r}_{k=1}\left(1+\frac{n-1}{k}\right) = \frac{n(n+1)\cdots(n+r-1)}{r!} = (-1)^{r-1}{-n \choose r}</math>~~ 삼각수의 임의의 정수에 대한 나머지에 대하여 다음이 성립한다. :<math>\operatorname{Tri}(n+4k)\equiv\operatorname{Tri}(n)\pmod{2k}</math> :<math>\operatorname{Tri}(n+2k+1)\equiv\operatorname{Tri}(n)\pmod{2k+1}</math> 즉, 삼각수의 홀수에 대한 나머지는 그 홀수를 주기로 가지며, 짝수에 대한 나머지는 그 짝수의 2배를 주기로 가진다. 예를 들어, 처음 몇 삼각수의 2, 3, 4에 대한 나머지는 각각 다음과 같다. :[0,] 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ... {{OEIS\|A133872}} :[0,] 1, 0, 0, 1, 0, 0, ... {{OEIS\|A079978}} :0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, ... {{OEIS\|A105198}} 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 [[페르마 다각수 정리]]의 특수한 경우이며, [[카를 프리드리히 가우스]]가 [[1796년]] (가우스의 일기에 따르면 [[7월 10일]])에 증명하였다. ~~이다.~~ '''[[정사각 삼각수]]'''(正四角三角數, {{llang\|en\|square triangular number}})는 정사각수를 이루는 삼각수를 뜻한다. 정사각 삼각수를 찾는 문제는 다음과 같은 [[펠 방정식]]의 해를 구하는 문제와 동치이다. ~~== 가우스의 계산법 ==~~ :<math>x^2-2y^2=1</math> [[카를 프리드리히 가우스]]에 관련된 일화에 의하면, 가우스는 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 문제를 듣고(1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 것은 100번째 삼각수를 구하라는 것과 같다.), 1+100, 2+99 등으로 1~100 사이의 두 수를 더하면 101이 되도록 수를 짝짓고, 합이 101이도록 짝지어진 수들의 갯수가 50쌍이라는 것을 알아낸 뒤 101×50을 계산하여 답이 5050임을 구하였다. 즉, 수식으로 쓰면 (100+1)×(100/2)가 되고, 여기서 100을 n으로 치환하면 n번째 삼각수의 값을 나타내는 식이 도출된다. 정사각 삼각수는 무한히 많이 존재하며, 이들은 정확히 다음과 같다. :<math>\frac{(17+12\sqrt 2)^n+(17-12\sqrt 2)^n-2}{32}\qquad n\ge 0</math> 이는 [[레온하르트 오일러]]가 1730년에 증명하였다. 처음 몇 정사각 사각수와 이들의 정사각수 지표 및 삼각수 지표는 다음과 같다. :0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, ... {{OEIS\|A001110}} :0, 1, 6, 35, 204, 1189, ... {{OEIS\|A001109}} :0, 1, 8, 49, 288, 1681, ... {{OEIS\|A001108}} [[세제곱수]]를 이루는 삼각수는 0과 1을 제외하면 존재하지 않는다. == 같이 보기 == * [[중심 삼각수]] * [[사각수]], [[오각수]], [[육각수 (수학)\|육각수]] * [[다각수]] * [[플로이드의 삼각형]] == 참고 문헌 == * Deza, Figurate Numbers, 2012 * Garge, Shirali, Triangular Numbers, Resonance, 2012 == 외부 링크 ==

삼각수: 두 판 사이의 차이