"하이젠베르크 군"의 두 판 사이의 차이

208 바이트 추가됨 ,  9개월 전
편집 요약 없음
[[수학리 군론]]에서, '''하이젠베르크 군'''(Heisenberg群, {{llang|en|Heisenberg group}})은 [[멱영 리 군]]의 하나이다. [[양자역학]]에서 쓰인다.
 
== 정의 ==
이며, 그 역원은
:<math>-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)</math>
이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' <math>\operatorname{Heis}(V,\omega;K)</math>라고 한다. 이는 [[아벨 군]] <math>(V,+)</math>의 [[중심 확대]]이다. 즉, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to K\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1</math>
 
보통 <math>V</math>가 명시되어 있지 않은 경우, <math>n=1</math>인 경우에 해당한다. 즉, <math>\operatorname{Heis}(1;\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>를 의미한다.
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[벡터 공간]] <math>V\oplus K</math> 위에 다음과 같은 [[리 대수]] 구조를 줄 수 있다.
:<math>[(\mathbf u,s),(\mathbf v,t)] = (\mathbf 0,\omega(\mathbf u,\mathbf v))\qquad\forall \mathbf u,\mathbf v\in V,\;s,t\in K</math>
이를 '''하이젠베르크 리 대수'''({{llang|en|Heisenberg Lie algebra}}) <math>\mathfrak{heis}(V,\omega;K)</math>라고 한다. 마찬가지로, 다음과 같은 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0 \to K \to \mathfrak{heis}(V;K) \to V \to 0</math>
여기서 <math>K</math>와 <math>V</math>는 [[아벨 리 대수]]이다.
 
<math>V</math>가 유한 <math>2n</math> 차원일 때, 심플렉틱 기저 <math>(\mathsf p_i,\mathsf q^i)_{i\in\{1,\dotsc,n\}} \subseteq V</math>를 잡을 수 있다. <math>V\oplus K\mathsf c</math> 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf q^j]=\delta_i^j\mathsf c</math>
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf c]=[\mathsf q_i,\mathsf c]=0</math>
여기서 <Mathmath>\delta_i^j</math>는 [[크로네커 델타]]이다.
 
== 성질 ==
하이젠베르크 군 <math>\operatorname{Heis}(V,\omega;K)</math>는 [[아벨 군]] <math>(V,+)</math>의 [[중심 확대]]이다. 즉, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to K\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1</math>
마찬가지로, 다음과 같은 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0 \to K \to \mathfrak{heis}(V,\omega;K) \to V \to 0</math>
여기서 <math>K</math>와 <math>V</math>는 [[아벨 리 대수]]이다.
 
표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[멱영군]]이며, 하이젠베르크 리 대수는 [[멱영 리 대수]]이다.
 
=== 위상수학적 성질 ===
만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[리 군]]을 이룬다. 이는 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이며, (정의에 따라) [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다.
 
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\in\mathfrak{heis}(n2n+1;K)</math>
이 경우, [[행렬 지수 함수사상]] 다음과 같다.
:<math>\exp\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
 
=== 표현론 ===
하이젠베르크 군의 [[군 표현론]]은 [[스톤-폰 노이만 정리]]에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 <math>H_\operatorname{Heis}(2n+1};\mathbb R)</math>의 비자명 유니터리 [[기약 표현]]은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^2(\mathbb R^n)</math> 위의 다음과 같은 표현 <math>\rho_{\hbar}</math>와 동형이다.
:<math>\rho_\hbar\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
이를 리 대수 <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>에 대하여 표기하면 다음과 같다.
:<math>P_i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)</math>
:<math>Q_i\psi(x)=\mathrm ix_i\psi(x)</math>
:<math>C\psi(x)=\mathrm i\hbar\psi(x)</math>
 
== 참고 문헌 ==