2018년 12월 6일 (목) 09:40 판 편집 Choboty (토론 \| 기여) 봇 1,712,549 편집 잔글 영어판 분류 정보를 이용.+분류:복소해석학 정리; 예쁘게 바꿈 ← 이전 편집		2019년 4월 22일 (월) 20:13 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,476 편집 코시 적분 공식 관련 내용을 본문으로 옮김 다음 편집 →
1번째 줄: [[복소해석학]]에서, '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang\|en\|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간\|단일 연결]] [[영역 (수학)\|영역]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다. ~~'''코시의 적분정리'''(Cauchy's integral theorem)은 [[복소선적분]]에서 중요한 정리 중 하나이다.~~ 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다. == 설명정의 == [[유계 집합\|유계]] [[영역 (수학)\|영역]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)\|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 매끄러운 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용 ~~<math>f\left( z \right)</math>가 단순연결영역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 <math>C</math>에 대하여~~ \|저자1=谭小江 ~~:<math>\oint\limits_{C}{f\left( z \right)}dz=0</math>~~ \|저자2=伍胜健 \|제목=复变函数简明教程 \|언어=zh \|총서=北京大学数学教学系列丛书 \|출판사=北京大学出版社 \|위치=北京 \|날짜=2006-02 \|isbn=978-7-301-08530-1 }}</ref>{{rp\|84}} :<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0</math> 이에 따라, [[단일 연결 공간\|단일 연결]] 영역 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]] ~~이다.~~ :<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math> 는 경로 :<math>\gamma\colon[a,b]\to D\qquad(\gamma(a)=z',\;\gamma(b)=z'')</math> 의 선택에 의존하지 않는다. == ~~코시의 적분공식~~증명 == 우선, <math>D</math>가 [[삼각형]] 영역인 경우를 보이자.<ref name="tanxj" />{{rp\|85-87}} ~~=== 설명 ===~~ ~~단순연결영역 <math>D</math>의 에서 해석적인 함수 <math>f(z)</math>와 점 <math>z_{0}</math> 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 <math>C</math> 에 대해~~ <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0} \right)</math> 이라는 정리이다. 이는 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z \right)}{z-z_{0}}}dz=f\left(z_{0} \right)</math> 이라고 표현하기도 한다. ~~=== 증명 ===~~ <math>f(z)</math> 는 <math>z=z_{0}</math> 에서 [[연속]]이므로 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>\|z-z_{0}\|<\delta</math> 이면 <math>\|f(z)-f(z_{0})\|<\epsilon</math> 을 만족하는 <math>\delta>0</math> 가 존재한다. ~~이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:\|z-z_{0}\|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해~~ ~~:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math>~~ [[귀류법]]을 사용하여, :<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math> 이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 영역 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역 <math>D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}</math>를 생각하자. 그렇다면, :<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz =\int_{\partial D_{0,1}}f(z)\mathrm dz +\int_{\partial D_{0,2}}f(z)\mathrm dz +\int_{\partial D_{0,3}}f(z)\mathrm dz +\int_{\partial D_{0,4}}f(z)\mathrm dz</math> 이므로, :<math>\left\|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right\|\ge\frac 14\left\|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right\|</math> 인 <math>D_1\in\{D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}\}</math>가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 영역의 열 <math>(D_n)_{n=0}^\infty</math>을 얻는다. * <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math> * <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math> * <math>\left\|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right\|\ge\frac 1{4^n}\left\|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right\|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math> 따라서, :<math>\bigcap_{n=0}^\infty D_n=\{a\}</math> 인 <math>a\in\mathbb C</math>가 존재하며, 임의의 <math>n\in\{0,1,\dots\}</math>에 대하여, :<math> \begin{align} 0<\frac 1{4^n}\left\|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right\|\le\left\|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right\| &=\left\|\int_{\partial D_n}(f(z)-f(a)-f'(a)(z-a))\mathrm dz\right\|\\ &\le\max_{z\in\partial D_n}\left\|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right\|\cdot\operatorname{diam}D_n\cdot\int_{\partial D_n}\|\mathrm dz\|\\ &=\frac 1{4^n}\max_{z\in\partial D_n}\left\|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right\|\cdot\operatorname{diam}D\cdot\int_{\partial D}\|\mathrm dz\| \end{align}</math> 이다. :<math>\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\partial D_n}\left\|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right\|=0</math> 이므로, 이는 모순이다. 이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 영역의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 영역이라고 가정하자. ~~양변을~~ ~~:<math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면~~ :<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 이고 :<math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math> ~~이다. 또~~ ~~:<math>\left\|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz\right\|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math>~~ 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다. * <math>\operatorname{cl}\tilde D\subseteq D</math> * <math>\left\|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz-\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz\right\|<\epsilon</math> 다각형 영역 <math>D</math>는 유한 개의 삼각형 영역의 합집합으로 분할되므로, :<math>\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz=0</math> 이며, 따라서 :<math>\left\|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right\|<\epsilon</math> 이다. ~~:<math>\epsilon>0</math>~~ == 각주 == ~~이므로~~ {{각주}} ~~:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math>~~ === ~~일반화~~외부 링크 === * {{eom\|title=Cauchy integral theorem}} * {{매스월드\|id=CauchyIntegralTheorem\|title=Cauchy integral theorem}} ~~코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.~~ ~~<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)} (z_{0})</math> (여기에서 <math>f^{(n)}</math> 은 f의 n계도함수)~~ 다음을 이용하면 임의의 함수가 <math>z_0</math> 에서 해석적이면 그 n계도함수도 <math>z_0</math> 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다. ~~=== 예 ===~~ ~~<math>f(z)=e^z</math> 를 미분하면 <math>\frac{df(z)}{dz}=e^z</math> 가 되고 모든 점에서 해석적이므로 <math> z=0 </math> 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서~~ ~~:<math>\oint\limits_{C}{\frac{e^z}{z}}dz=2\pi i e^0=2\pi i</math>~~ ~~이다.~~ ~~[[분류:해석학 정리]]~~ ~~[[분류:복소해석학]]~~ [[분류:복소해석학 정리]]

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