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도함수 <math>f'</math>가 <math>\operatorname{cl}D</math>의 어떤 [[근방]] <math>N\supseteq\operatorname{cl}D</math>에서 연속 함수임을 가정할 경우,<ref name="tanxj" />{{rp|84-85}}
:<math>f=u+iv</math>
인 <math>u,v\colon N\to\mathbb R</math>
:<math>\begin{align}\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz
&=\int_{\partial D}(u+iv)(\mathrm dx+i\mathrm dy)\\
33번째 줄:
&=0
\end{align}</math>
이다.
=== C<sup>1</sup>을 가정하지 않는 증명 ===
41번째 줄:
[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math>
이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 영역 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역 <math>
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)\mathrm dz</math>
이므로,
:<math>\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|</math>
인 <math>D_1\in\{
* <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math>
* <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math>
* <math>\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|=\frac 1{2^n}\int_{\partial D}|\mathrm dz|</math>
* <math>\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math>
따라서,
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