코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이

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도함수 <math>f'</math>가 <math>\operatorname{cl}D</math>의 어떤 [[근방]] <math>N\supseteq\operatorname{cl}D</math>에서 연속 함수임을 가정할 경우,<ref name="tanxj" />{{rp|84-85}}
:<math>f=u+iv</math>
인 <math>u,v\colon N\to\mathbb R</math> 취하자. 그렇다면, [[그린 정리]]와 [[코시-리만 방정식]]에 의하여,
:<math>\begin{align}\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz
&=\int_{\partial D}(u+iv)(\mathrm dx+i\mathrm dy)\\
&=0
\end{align}</math>
이다.
이므로, 코시 적분 정리의 결론이 성립한다.
 
=== C<sup>1</sup>을 가정하지 않는 증명 ===
[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math>
이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 영역 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역 <math>D_{0T_1,1}T_2,D_{0T_3,2},D_{0,3},D_{0,4}T_4</math>를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)\mathrm dz</math>
=\int_{\partial D_{0,1}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,2}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,3}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,4}}f(z)\mathrm dz</math>
이므로,
:<math>\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|</math>
인 <math>D_1\in\{D_{0T_1,1}T_2,D_{0T_3,2},D_{0,3},D_{0,4}T_4\}</math>가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 영역의 열 <math>(D_n)_{n=0}^\infty</math>을 얻는다.
* <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math>
* <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math>
* <math>\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|=\frac 1{2^n}\int_{\partial D}|\mathrm dz|</math>
* <math>\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math>
따라서,