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== 정의 ==
[[파일:continuity topology.svg|섬네일|right|300px|점에서의 연속성]]
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''점 <math>x</math>에서 연속 함수'''이다({{lang|en|continuous at the point ''x''}})라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math> 및 [[근방]] <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
* 임의의 [[그물 (수학)|그물]] <math>x_\alpha\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_\alpha\to x</math>라면 <math>f(x_\alpha)\to f(x)</math>이다.
* 임의의 [[열린 집합]] <math>U\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(U)\subseteq X</math>는 [[열린 집합]]이다.
* 임의의 [[닫힌 집합]] <math>C\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(C)\subseteq X</math>는 [[닫힌 집합]]이다.
* <math>f</math>는 <math>X</math>의 모든 점에서 연속 함수이다연속이다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 항상 <math>f(\operatorname{cl}(A))\subseteq\operatorname{cl}(f(A))</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]를 일컫는다.
 
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