코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이

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[[복소해석학]]에서, '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang|en|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[영역 (해석학)|영역열린집합]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다.
 
== 정의 ==
[[유계 집합|유계]] [[영역연결 (해석학)공간|영역연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0</math>
 
이에 따라, [[단일 연결 공간|단일 연결]] 영역열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]]
:<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math>
는 경로
 
=== C<sup>1</sup>을 가정하지 않는 증명 ===
[[파일:Proof of Cauchy's integral theorem.svg|섬네일|삼각형 영역에열린집합에 대한 코시 적분 정리의 증명 도해]]
위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 <math>D</math>가 [[삼각형]] 영역인열린집합인 경우를 보이자.<ref name="tanxj" />{{rp|85-87}}
 
[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math>
이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 영역열린집합 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역열린집합 <math>T_1,T_2,T_3,T_4</math>를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)\mathrm dz</math>
이므로,
:<math>\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|</math>
인 <math>D_1\in\{T_1,T_2,T_3,T_4\}</math>가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 영역의열린집합의 열 <math>(D_n)_{n=0}^\infty</math>을 얻는다.
* <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math>
* <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math>
이므로, 이는 모순이다.
 
이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 영역의열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 영역이라고열린집합이라고 가정하자.
 
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역열린집합 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname{cl}\tilde D\subseteq D</math>
* <math>\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz-\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon</math>
다각형 영역열린집합 <math>\tilde D</math>는 유한 개의 삼각형 영역의열린집합의 합집합으로 분할되므로,
:<math>\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz=0</math>
이며, 따라서