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[[복소해석학]]에서, '''리우빌의리우빌 정리'''({{llang|en|Liouville's theorem}})는 복소 평면 위의 [[유계 함수|유계]] [[정칙함수정칙 함수]]가 [[상수 함수]]라는 정리다.
== 정의 ==
'''리우빌의리우빌 정리'''에 따르면, 복소 평면 <math>\mathbb C</math> 위의 함수 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[상수함수]]이다.
* <math>f</math>는 (복소 평면 전체에서) [[유계 함수|유계]] [[정칙함수정칙 함수]]이다.(유계는 실해석학 기준으로만 나와있다. 수정 바람)
== 증명 ==
리우빌의리우빌 정리는 테일러 급수 전개를 사용해 간단히 증명할 수 있다. 즉, 유계 함수의 경우, 테일러 급수의 계수가 (상수항을 제외하고) 모두 0이어야 한다는 것을 보이면 된다.
상수함수가 유계 정칙함수인정칙 함수인 것은 자명하다. 반대로, 유계 정칙 함수 <math>f</math>가 주어졌다고 하자. 이는 [[테일러 급수]]로
: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>
로 나타낼 수 있다. 그렇다면 임의의 양의 실수 <math>r\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>|a_k |=\left|\frac1{2\pi i}\oint_int_{|\zeta|=r}\frac{f( \zeta )}{\zeta^{k+1}}\,d\zeta\right|\le \frac{1}{2 \pi} \oint_int_{|\zeta|=r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta |^{k+1} } \, |d\zeta|\le\frac{\sup_{\mathbb C}f}{r^k}</math>
<math>r</math>는 임의의 양의 실수이므로,
:<math>|a_k|\le\lim_{r \rightarrow \infty} \frac{\sup_{\mathbb C}f}{r^k}=0\qquad(k>0)</math>
== 따름정리 ==
=== 대수학의 기본정리 ===
리우빌의리우빌 정리를 사용해 [[대수학의 기본정리기본 정리]]를 쉽게 증명할 수 있다. <math>p\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>가 상수가 아닌 다항식이며, 근을 갖지 않는다고 하자. <math>n</math>차 다항식의 경우, 충분히 큰 <math>|z|</math>에 대하여
:<math>\frac12|z|^n<|p(z)|</math>
이므로,
:<math>|p(z)|>|p(0)|\quad\forall|z|>r</math>
인 <math>r\in\mathbb R^+</math>를 찾을 수 있다. <math>p</math>는 근을 갖지 않으므로, <math>1/p</math>는 복소 평면 위의 유계 정칙함수이다정칙 함수이다. 따라서, 리우빌의리우빌 정리에 의하여 <math>p</math>는 상수 함수가 되는데, 이는 가정과 모순된다.
=== 극점이 없는 타원 함수의 부재 ===
리우빌의리우빌 정리에 따라서, 극점이 없는 [[타원 함수]]는 상수 함수이다. 극점이 없는, 주기가 <math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb C</math>인 타원 함수는 콤팩트 집합 <math>\{s_1\omega_1+s_2\omega_2|s_1,s_2\in[0,1]\}</math> 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌의리우빌 정리가 적용된다.
=== 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙함수의정칙 함수의 상은 조밀 ===
정칙함수정칙 함수 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(\mathbb C)\subset\mathbb C</math>은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 <math>\mathbb C</math>의 [[조밀집합조밀 집합]]이다. 이 역시 리우빌의리우빌 정리로부터 쉽게 증명할 수 있다. 만약 정칙함수정칙 함수 <math>f</math>에 대하여, 모든 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여 항상 <math>|f(z)-w_0|>r</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>z\mapsto\frac1{f(z)-w_0}</math>
는 복소 평면 위의 유계 정칙함수이므로정칙 함수이므로, <math>f</math>는 상수 함수이다.
== 일반화 ==
[[피카르의 소정리]](Picard's little theorem)는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함수값으로함숫값으로 갖지 않는 모든 전해석함수는전해석 함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수 <math> z </math>에 대해 <math> f(z)\ne a </math>, <math> f(z)\ne b </math> 인 서로 다른 두 복소수 <math> a, b </math> 가 존재하면 <math> f </math> 는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌의리우빌 정리를 함의하고있다함의한다.
== 역사 ==
리우빌의리우빌 정리는 1844년에 [[오귀스탱 루이 코시]]가 최초로 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성 = Cauchy|이름 = Augustin-Louis|저자링크=오귀스탱 루이 코시|날짜 = 1844|publication-date = 1882|장 = Mémoires sur les fonctions complémentaires|장url = http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=VERESS5-1212867208163&B=1&E=PDF&O=NUMM-90188|제목 = Œuvres complètes d’Augustin Cauchy, sér. 1, vol. 8|place = Paris|publisher = Gauthiers-Villars|doi=10.1017/CBO9780511702365.055|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|last = Lützen|first = Jesper|날짜 = 1990|title = Joseph Liouville 1809–1882: master of pure and applied mathematics|series = Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|volume = 15|publisher = Springer|isbn = 3-540-97180-7|언어=en}}</ref>
1847년에 [[조제프 리우빌]]이 극점이 없는 [[타원 함수]]가 [[상수 함수]]임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last = Liouville|first = Joseph|author-link = Joseph Liouville|날짜 = 1879|title = Leçons sur les fonctions doublement périodiques faites en 1847 par M. J. Liouville|저널 = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|권 = 88|pages = 277–310|issn = 0075-4102|url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=266004|doi = 10.1515/crll.1880.88.277|언어 = fr}}{{깨진 링크|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=266004 }}</ref> 이는 오늘날 "리우빌의리우빌 정리"라고 일컬어지는 결과의 따름정리다.
== 참고 문헌 ==
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