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칼만 필터: 두 판 사이의 차이

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=== 칼만 이득 유도 ===
 
칼만 필터는 최소 제곱 오차(minimum mean-square error, MMSE) 추정이다. 후부 상태 추정에서 에러는잔차는 다음 식과 같다.
:<math>\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}</math>
우리는 이 벡터의 크기의 자승의 기댓값을 최소화하는 것을제곱의 찾는다,기댓값 <math>\textrm{E}[|\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}|^2]</math>을 최소화하는 <math>\textbf{K}_{k}</math>를 찾는 것이 목적이다. 이것은 후부 추정 공분산 매트릭스행렬 <math> \textbf{P}_{k|k} </math>의 트레이스(대각 요소들의 합)를대각합을 최소화하는 것과 같다. 위 방정식에서 그<math> 항을\textbf{P}_{k|k} 확대하고</math>를 수집하여,전개하여 우리는 다음을 얻는다.묶어내면
:{|
|-
140번째 줄:
| <math> = \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^\text{T}</math>
|}
이 행렬의 대각합이 최소가 되는 조건은
그 트레이스는 매트릭스 유도체(매트릭스 미분(calculus))가 0일 때 최소화 된다.
:<math>\frac{\partial \; \textrm{tr}(\textbf{P}_{k|k})}{\partial \;\textbf{K}_k} = -2 (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1})^\text{T} + 2 \textbf{K}_k \textbf{S}_k = 0</math>
 
최적의 칼만 이득 '''K'''<submath>''\textbf{K}_{k''}</submath>를 산출하기 위해 이것을 푼다.산출하면
 
:<math>\textbf{K}_k \textbf{S}_k = (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1})^\text{T} = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T}</math>
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:<math> \textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}</math>
 
''최적의 칼만 이득''이라 불리는, 이 이득은 MMSE 추정을 사용했을 때 산출되는 값이다.
 
=== 후부 에러 공분산 식의 간이화 ===
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/칼만_필터"