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위상 K이론: 두 판 사이의 차이

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4번째 줄:
== 정의 ==
=== 0차 K군 ===
다음이 주어졌다고 하자.
<math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이고, <math>k</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>X</math>의 '''K군'''({{lang|en|K-group}}) <math>\operatorname K^0(X)</math>는 <math>X</math> 위의 <math>k</math>-[[벡터 다발]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 보통 실수 K군은 <math>K_{\mathbb R}^0(X)=KO^0(X)</math> , 복소 K군은 <math>K_{\mathbb C}^0(X)=KU^0(X)</math>라고 쓴다. 여기서 O, U는 [[직교군]]({{lang|en|orthogonal group}})과 [[유니터리 군]]({{lang|en|unitary group}})의 이름의 약자이다. K군은 그로텐디크 군이므로 [[아벨 군]]이다. 또한, 벡터 다발의 [[텐서곱]]을 통하여 K군은 (곱셈 단위원을 가진) [[가환환]]을 이룬다.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>
* 기호 <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U,\operatorname{Sp}\}</math>. 이에 대하여,
** <math>\operatorname O</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) 실수 [[벡터 다발]]이다. (O는 [[직교군]]을 뜻한다.)
** <math>\operatorname U</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) [[복소수 벡터 다발]]이다. (U는 [[유니터리 군]]을 뜻한다.)
** <math>\operatorname{Sp}</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 [[벡터 다발]] 가운데, (만약 <math>2n</math>차원이라면) <math>\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)</math>--[[주다발]]의 [[연관 벡터 다발]]로 표현되는 것이다. (Sp는 [[심플렉틱 군]]을 뜻한다.)
그렇다면, <math>X</math> 위의 <math>G</math>-[[벡터 다발]]
:<math>E \twoheadrightarrow X</math>
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 [[가환 모노이드]]를 이루며, <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}</math>인 경우 텐서곱을 통하여 [[반환]]을 이룬다. ([[직합]]에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)
 
<math>X</math>의 <math>G</math>에 대한 '''K군'''({{lang|en|K-group}}) <math>\mathrm KG^0(X)</math>는 <math>X</math> 위의 <math>G</math>-[[벡터 다발]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 만약 <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}</math>라면, 이는 [[가환환]]을 이룬다.
이제부터는 첨자 <math>k</math>를 암묵적으로 생략한다.
 
흔히, 만약 <math>G</math>를 생략하였다면, <math>G = \operatorname U</math>를 뜻한다.
 
=== 축소 K군 ===
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/위상_K이론"