룽게-쿠타 방법: 두 판 사이의 차이
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1900년 경 독일의 수학자 [[카를 다비트 톨메 룽게]]와 [[마르틴 빌헬름 쿠타]]가 개발하였다.
== 일반적인 4차 룽게-쿠타 방법 ==
일반적으로 사용하는 룽게-쿠타 방법은 4차 룽게-쿠타 방법으로 보통 "RK4" 라고 쓴다. 별다른 수식어 없이 룽게-쿠타 방법을 쓴다고 말한다면 대체로 4차 룽게-쿠타 방법을 쓴다는 뜻이다.
다음과 같이 정의된 [[초기값 문제]]를 두자:
:<math> y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
y는 시간 t에 대한 미지의 함수이며, 우리가 근사하려는 것이다. y의 변화인 <math>\dot{y}</math>는 t와 y자신으로 이루어진 함수이고, 초기시간 <math>t_0</math>에 대응하는 y의 초기값은 <math>y_0</math>이며, 함수 f와 <math>t_0</math>, <math>y_0</math>의 값은 주어져 있다.
이제 h > 0 인 단계 크기로 다음을 정의한다.
:<math>\begin{align}
y_{n+1} &= y_n + \tfrac{1}{6}h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) \\
t_{n+1} &= t_n + h \\
\end{align}</math>
n = 0, 1, 2, 3, ... 에서, 다음을 사용한다.
:<math>
\begin{align}
k_1 &= f(t_n, y_n)
\\
k_2 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h, y_n + \tfrac{1}{2}h k_1)
\\
k_3 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h, y_n + \tfrac{1}{2}h k_2)
\\
k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3)
\end{align}
</math>
여기서 <math>{y}_{n+1}</math>이란 <math>y(t_{n+1})</math> 의 RK4 근사 항이며, 다음 단계의 값(<math>{y}_{n+1}</math>)은 현재 단계의 값(<math>y_n</math>)에 네 구간의 크기 h의 증분치들의 가중평균을 더한 값이다.
* <math>k_1
</math>은 구간의 시작부분의 기울기에 의한 증분값이며, <math>y
</math>를 사용한다.([[오일러 방법]])
* <math>k_2
</math>는 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이며, <math>y+\frac{h}{2}k_1
</math>을 사용한다.
* <math>k_3
</math>는 마찬가지로 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이나, <math>y+\frac{h}{2}k_2
</math>를 사용한다.
* <math>k_4
</math>은 구간의 끝의 기울기에 의한 증분값이며, <math>y+h k_3
</math>를 사용한다.
네 증분을 평균을 낼 때, 중간 부분에서 더 많은 무게의 증분이 더해진다. 만약 함수 <math>f
</math>가 <math>y
</math>에 대하여 독립적이라면, 미분방정식은 단순한 적분이 되어 RK4는 [[심프슨 공식]]이 된다.
[[파일:Runge Kutta method.png|대체글=File:Runge Kutta method.png|섬네일|일반적인 미분방정식에서 RK4 방법과 다른 낮은 차원의 방법을 비교한 것 이다.]]
RK4 방법은 4차 해법이다. 이는 각 단계에서의 [[절단 오차|오류]]는 [[점근 표기법]]으로 <math>O(h^5)</math>, 총 누적 오류는 <math>O(h^4)</math>라는 것을 의미한다.
== Explicit 룽게 - 쿠타 방법 ==
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