"순환군"의 두 판 사이의 차이

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* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
 
지수가 유한한 군 <math>G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 <math>g\in\mathbb G</math>에 대하여, <math>g^n=1</math>
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
 
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g\mid\exp G\mid|G|</math>
** 증명: <math>1=(g^n)^{\operatorname{ord}g^n}=g^{n\operatorname{ord}g^n}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}g\mid n\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n</math>
{{증명 끝}}
 
군의 원소 <math>g,h\in G</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>gh=hg</math>
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
 
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
** 증명: <math>mn=\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명 끝}}
 
[[유한군|유한]] [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>g\in G</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g</math>
* '''아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:''' <math>|G|</math>가 소수가 아니라고 가정하자. <math>G</math>가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. <math>G</math>가 순환군이 아닌 경우, 임의의 <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>\langle g\rangle\triangleleft G</math>이며, <math>\langle g\rangle\ne1,G</math>이므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
{{증명 끝}}
 
순환군의 [[부분군]] 역시 순환군이다. 구체적으로, <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>\langle g^n\rangle\qquad
* '''(1) ⇔ (3):''': [[쉴로브 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}
 
순환군 <math>Z_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math>
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>이므로, <math>Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}</math>이다.
{{증명 끝}}
 
[[코시 정리]]에 따르면, 임의의 소인수 <math>p\mid|G|</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}g_p=p</math>인 <math>g_p\in G</math>가 존재한다.
 
* <math>G=\langle a\rangle\times B</math>
** 증명: 우선, <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle</math>이므로, <math>G=\langle a\rangle B</math>이다. 또한, <math>(\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\{\langle b\rangle\}</math>이므로, <math>\langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이며, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>이다.
 
{{증명 끝}}