"내적 공간"의 두 판 사이의 차이

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<math>\mathbb K</math>-내적 공간 <math>V</math> 위에 자연스러운 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.
:<math>\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle}</math>
{{proof증명 시작}}
노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 [[삼각 부등식]]은 [[코시-슈바르츠 부등식]]의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}\Vert u+v\Vert^2
이므로,
:<math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
{{end증명 proof}}
반대로, <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이 <math>\mathbb K</math>-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 [[평행 사변형 법칙]]
:<math>2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2=\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2\qquad\forall u,v\in V</math>
\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2+\frac i4\Vert u+iv\Vert^2-\frac i4\Vert u-iv\Vert^2&\mathbb K=\mathbb C
\end{cases}</math>
{{proof증명 시작}}
실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.
:<math>\langle v,v\rangle>0\qquad\forall0\ne v\in V</math>
:<math>q\langle au,v\rangle=\langle qau,v\rangle=\langle pu,v\rangle=p\langle u,v\rangle</math>
마지막으로, <math>a\in\mathbb R</math>일 경우는 <math>u,v\in V</math>를 고정하였을 때 <math>a\mapsto\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle</math>가 연속 함수임에 따라 성립한다.
{{end증명 proof}}
 
=== 코시-슈바르츠 부등식 ===