기약 다항식: 두 판 사이의 차이

=== 실수체 위의 기약 다항식 ===

[[실수체]] 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 [[판별식]]이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.

;1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.

;판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.

;판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.

;3차 이상의 다항식의 비기약성: <math>p(x)\in\mathbb R[x]</math>가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, [[대수학의 기본 정리]]에 따라 복소수 영점 <math>z\in\mathbb C</math>가 존재한다. 만약 <math>z\in\mathbb R</math>라면, <math>\mathbb R[x]\ni x-z\mid p(x)</math>이므로 <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다. 만약 <math>z\not\in\mathbb R</math>이라면, 그 [[켤레 복소수]] <math>\bar z</math> 역시 영점인데, 이는 <math>p(\bar z)=\bar p(\bar z)=\overline{p(z)}=\bar 0=0</math>이기 때문이다. 따라서, <math>\mathbb R[x]\ni(x-z)(x-\bar z)\mid p(x)</math>이므로, <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다.

 

== 성질 ==