부분 아핀 공간: 두 판 사이의 차이
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[[아핀 기하학]]에서, '''부분 아핀 공간'''(部分{{lang|en|affine}}空間, {{llang|en|affine subspace}})은 새로운 [[아핀 공간]]을 이루는 주어진 아핀 공간의 [[부분 집합]]이다. 이는 [[평행 이동]]에 대한 [[부분 벡터 공간]]의 [[상 (수학)|상]]과 동치이다.
== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>B</math>를 <math>A</math>의 '''부분 아핀 공간'''이라고 한다.
* <math>B-a</math>가 <math>V(A)</math>의 [[부분 벡터 공간]]이 되는 <math>a\in B</math>가 존재한다. (여기서 <math>B-a=\{b-a\colon b\in B\}</math>이며, <math>V(-)</math>는 [[평행 이동]]의 [[벡터 공간]]이다.)
* 임의의 <math>a\in B</math>에 대하여, <math>B-a</math>는 <math>V(A)</math>의 부분 벡터 공간이다.
부분 아핀 공간 <math>B\subseteq A</math>에 대하여, <math>V(B)=B-a</math>는 <math>a\in B</math>의 선택과 무관하며, 이는 <math>B</math>의 평행 이동들로 구성된다.
=== 생성된 부분 아핀 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>\varnothing\ne S\subseteq A</math>가 [[공집합]]이 아니라고 하자. '''<math>S</math>로 생성된 부분 아핀 공간'''({{llang|en|affine subspace spanned by <math>S</math>}}) <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(S)</math>는 <math>S</math>를 포함하는 <math>A</math>의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 <math>S</math>를 포함하는 <math>A</math>의 모든 부분 아핀 공간의 [[교집합]]과 같다. 또한, 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Aff\,Span}_K(S)=s+\operatorname{Span}_K(S-s)</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{Span}_K(-)</math>는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.
== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>B\subseteq A</math>가 주어졌고, 체 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>B</math>는 <math>A</math>의 부분 아핀 공간이다.
* 임의의 <math>a,b\in B</math>에 대하여, <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(\{a,b\})\subseteq B</math>이다.
== 예 ==
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 점 <math>a,b\in A</math>로 생성된 부분 아핀 공간은 <math>a\ne b</math>일 경우 <math>a</math>, <math>b</math>를 지나는 [[아핀 직선]]이다.
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}
* {{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|제목=Geometry
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|권=1
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}
* {{서적 인용
|성=Gallier
|이름=Jean
|제목=Geometric Methods and Applications
|언어=en
|판=2
|총서=Texts in Applied Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2011
|issn=0939-2475
|isbn=978-1-4419-9960-3
|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0
|lccn=2011929342
}}
[[분류:아핀기하학]]
[[분류:선형대수학]]
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