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쉴로브 정리: 두 판 사이의 차이

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[[군론]]에서, '''쉴로브 ''p''-부분군정리'''({{Llangllang|en|Sylow ''p''-subgrouptheorems}})은 그보다 큰 p-부분군이 존재하지 않는 p-부분군이다.또는 '''쉴로브실로우 정리'''({{llang|en|Sylow’s theorem}})는 [[유한군]]의 쉴로브특정한 ''p''-부분군들의크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. [[코시의라그랑주 정리 (군론)|코시의라그랑주 정리]]의 폭넓은부분적 일반화이며역이며, [[라그랑주코시의 정리 (군론)|라그랑주코시의 정리]]의를 부분적 역이다일반화한다. [[유한군|유한]] [[단순군]]의 이론에서 중요한 성질들을 유도할 수역할을 있다한다.
 
== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, [[p-군|''p''-군]]은 모든 원소의 [[순환군|위수]]가 <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다. '''쉴로브 ''p''-부분군'''({{llang|en|Sylow ''p''-subgroup}})은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 군 <math>G</math>의 ''p''-부분군 <math>H</math>가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 ''p''-부분군이라고 한다.
=== 쉴로브 ''p''-부분군 ===
* 임의의 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>H\subseteq K</math>라면, <math>K\in\{H,G\}</math>이다.
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, [[p-군|''p''-군]]은 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다.
 
[[군 (수학)|군유한군]] <math>G</math>의와 '''쉴로브 ''p''-부분군'''은 극대소수 <math>p</math>-부분군이다.가 즉주어졌고, 다음어떤 두음이 조건을아닌 만족시키는정수 <math>Pn\lein\mathbb GZ^+\cup\{0\}</math>이다.와 양의 정수 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
* <math>P</math>는 <math>p</math>-군이다.
* <math>P\le Q\le G</math>인 <math>p</math>-부분군 <math>Q</math>는 <math>P</math>뿐이다.
쉴로브 <math>p</math>-부분군의 집합은 <math>\operatorname{Syl}_p(G)</math>와 같이 표기한다.
 
=== 쉴로브 정리 ===
[[유한군]] <math>G</math>의 크기가 다음과 같다고 하자.
:<math>|G|=p^nm</math>
여기서이며 <math>p</math>는와 <math>m</math>이 [[소수서로소 (수론)|소수서로소]]이며,라고 <math>n,m\in\mathbb N</math>, <math>p\nmid m</math>이다하자. 그렇다면 다음 세 개의 정리가 성립한다.
* '''제1 쉴로브 정리'''({{llang|en|first Sylow theorem}}): 크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이 존재한다.
* '''제2 쉴로브 정리'''({{llang|en|second Sylow theorem}}): <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군은 서로 [[켤레류|켤레]]이다. 즉, 임의의 두 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H,K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K=gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 특히, <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 크기는 <math>p^n</math>이다.
* '''제3 쉴로브 정리'''({{llang|en|third Sylow theorem}}): <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군의 총수가 <math>n_p</math>이며, <math>H</math>가 <math>G</math>의 임의의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
** <math>n_p\mid m</math>
** <math>n_p\equiv1\pmod p</math>
** <math>n_p=|G:N_G(H)|</math>. (여기서 <math>N_G(-)</math>는 [[정규화 부분군]]이다.)
 
== 제1 정리의 증명 ==
'''제1 쉴로브 정리''': 크기가 <math>p^n</math>인 쉴로브 <math>p</math>-부분군이 존재한다.
=== 켤레 작용을 통한 증명 ===
크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 <math>|G|</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자. <math>\{g_1,\dots,g_k\}\subseteq G</math>가 [[한원소 집합]]이 아닌 <math>G</math>의 [[켤레류]]들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[켤레류 방정식]]이 성립한다.
:<math>|G|=|{\operatorname Z(G)}|+\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|{\operatorname C_G(g_i)}|}</math>
이 경우 각 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여 <math>\operatorname C_G(g_i)</math>는 <math>G</math>의 진부분군이다.
 
만약 <math>p^n</math>이 <math>|{\operatorname C_G(g_i)}|</math>의 약수가 되는 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 <math>\operatorname C_G(g_i)</math>는 <math>|H|=p^n</math>인 부분군 <math>H</math>를 가지며, 이는 자명하게 <math>G</math>의 부분군이다.
'''제2 쉴로브 정리''': <math>G</math>의 모든 쉴로브 <math>p</math>-부분군들은 서로 [[켤레류|켤레]]이다. 따라서 모든 쉴로브 <math>p</math>-부분군의 크기는 <math>p^n</math>이다.
 
이제, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여, <math>p^n</math>이 <math>|{\operatorname C_G(g_i)}|</math>의 약수가 아니라고 하자. <math>n=0</math>인 경우는 자명하다. 만약 <math>n>0</math>이라면, <math>p</math>는 <math>|{\operatorname Z(G)}|</math>의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 <math>\operatorname Z(G)</math>는 <math>|K|=p</math>인 부분군 <math>K</math>를 가지며, 이는 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, [[몫군]] <math>G/K</math>는 크기가 <math>p^{n-1}</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H/K</math>를 가지며, 이 경우 <math>H</math>는 크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군이다.
'''제3 쉴로브 정리''': <math>G</math>의 쉴로브 <math>p</math>-부분군의 총수가 <math>n_p</math>이며, <math>P</math>가 <math>G</math>의 임의의 쉴로브 <math>p</math>-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
* <math>n_p\mid m</math>
* <math>n_p\equiv1\pmod p</math>
* <math>n_p=|G:N_G(P)|</math>. 여기서 <math>N_G(P)</math>는 <math>P</math>의 [[정규화 부분군]]이다.
 
=== 무한군의빌런트의 경우증명 (제1 정리) ===
[[헬무트 빌런트]]({{llang|de|Helmut Wielandt}})의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 <math>n>0</math>이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.
쉴로브 정리는 일반적으로 유한군에 대해서만 적용할 수 있다. 그러나, 무한군에 대하여서도 쉴로브 p-부분군의 개수가 유한한 경우에 한하여 다음과 같이 제한된 형식의 쉴로브 정리를 적용할 수 있다. 여기서 쉴로브 p-부분군의 존재성은 [[초른의 보조정리]]에 의하여 인정된다.
:<math>\mathcal S=\{S\subseteq G\colon|S|=p^n\}</math>
*정리 : 어떤 무한군 <math>G</math>에 대하여 쉴로브 p-부분군의 개수가 자연수 <math>n</math>이라 하자. 이때 <math>n = kp+1</math> 꼴이며, 또 모든 쉴로브 p-부분군들은 서로 켤레이다.
이 위에 <math>G</math>는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>G\times\mathcal S\to\mathcal S</math>
:<math>(g,S)\mapsto gS\qquad(g\in G,\;S\in\mathcal S)</math>
이 작용의 궤도들의 대표원을 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subset\mathcal S</math>라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.
:<math>|\mathcal S|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}</math>
또한
:<math>|\mathcal S|=\binom{p^nm}{p^n}=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}</math>
은 <math>p</math>와 서로소이므로 (이는 각 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여 <math>p^nm-k</math>와 <math>p^n-k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도와 같기 때문이다), [[군의 작용|궤도]]의 크기 <math>\frac{|G|}{|G_{S_i}|}</math>가 <math>p</math>와 서로소인 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>가 존재한다. <math>S_i</math>의 [[안정자군]]을 <math>H=G_{S_i}</math>라고 하자. 그렇다면, <math>H</math>는 <math>G</math>의 부분군이며, [[궤도-안정자군 정리]]에 의하여 <math>|H|</math>는 <math>p^n</math>을 약수로 갖는다. 또한 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>H\to S</math>
:<math>h\mapsto hs\qquad(h\in H)</math>
는 [[단사 함수]]이므로, <math>|H|=p^n</math>이다.
 
=== 정규화 부분군을 통한 증명 ===
임의의 쉴로브 ''p''-부분군(즉, 극대 ''p''-부분군) <math>H\subseteq G</math>에 대하여 <math>|H|=p^n</math>임을 보이는 것으로 족하다. <math>H</math>의 [[정규화 부분군]] <math>\operatorname N_G(H)</math>를 생각하자. 그렇다면 <math>H</math>는 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 정규 부분군이므로, 몫군 <math>\operatorname N_G(H)/H</math>를 취할 수 있다.
=== 군의 작용을 통한 증명 ===
쉴로브 <math>p</math>-부분군 <math>P</math>를 취하자. 우선 단언
:<math>p\nmid|G:N_G(P)|</math>
증명하자. 그렇지 않다면, [[코시의 정리 (군론)|코시의 정리]]에 따라
:<math>\operatorname{ord}(gN_G(P))=p</math>
인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 또한,
:<math>\operatorname{ord}g=\gcd\{\operatorname{ord}g,p\}\operatorname{ord}g^p</math>
:<math>P\trianglelefteq N_G(P)</math>
:<math>P<P\langle g\rangle\trianglelefteq N_G(P)</math>
:<math>\left|P\langle g\rangle\right|=\frac{|P|\operatorname{ord}g}{|P\cap\langle g\rangle|}</math>
이다. 이들 조건에 따라, <math>P\langle g\rangle</math>는 <math>P</math>보다 큰 <math>p</math>-부분군이므로, 모순이다. 즉, 단언이 성립한다.
 
우선, <math>p</math>가 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 소인수가 아님을 증명하자. [[귀류법]]을 사용하여 <math>p</math>가 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 <math>|K/H|=p</math>인 부분군 <math>K/H\subseteq\operatorname N_G(H)/H</math>가 존재한다. 이 경우 부분군 <math>H\subseteq K\subseteq \operatorname N_G(H)</math>는 <math>G</math>의 부분군이며, <math>|K|=p|H|>|H|</math>를 만족시킨다. 이는 <math>H</math>가 쉴로브 ''p''-부분군인 데 모순이다.
이제, 단언
:<math>N_G(P)\ge Q\in\operatorname{Syl}_p(G)\implies Q=P</math>
를 증명하자. <math>g\in N_G(P)</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ord}g=p^t</math>
인 <math>t\in\mathbb N</math>이 존재한다고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{ord}(gP)\mid\gcd\{\operatorname{ord}g,|N_G(P):P|\}=1</math>
따라서 <math>g\in P</math>이다. 즉, 단언이 성립한다.
 
이제, <math>p</math>가 <math>\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>의 소인수가 아님을 증명하자. [[왼쪽 잉여류]]의 집합 <math>G/\operatorname N_G(H)</math> 위에서 <math>H</math>가 다음과 같이 작용한다고 하자.
단언
:<math>|H\times G:/\operatorname N_G(PH)|\equiv1to G/\pmodoperatorname pN_G(H)</math>
:<math>|G:(h,g\operatorname N_G(PH))|\midmapsto mhg\operatorname N_G(H)\qquad(h\in H,\;g\in G)</math>
그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 [[합동 산술|합동식]]을 얻는다.
를 증명하자. 좌잉여류 집합 위의 왼쪽 곱셈 [[군의 작용|작용]]
:<math>P\to\operatornamefrac{Sym}(|G:|}{|{\operatorname N_G(PH))</math>}|}
\equiv|\{g\operatorname N_G(H)\in G/\operatorname N_G(H)
:<math>g\mapsto({-}\mapsto g{-})</math>
\colon Hg\operatorname N_G(H)=g\operatorname N_G(H)\}|
으로부터 유도되는 항등식
\pmod p</math>
:<math>|G:N_G(P)|=|\{gN_G(P)\in G:N_G(P)|PgN_G(P)=gN_G(P)\}|+\sum_{i=1}^t|P:P_{g_iN_G(P)}|</math>
따라서, <math>\operatorname N_G(H)</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 <math>g\in G</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여
:<math>p\mid|P:P_{g_iN_G(P)}|\forall i=1,\ldots,n</math>
:<math>hg\{gN_G(P)\inoperatorname G:N_G(P)|PgN_G(PH)=gN_G(P)g\}=\{operatorname N_G(PH)\}</math>
를 만족시킨다면, <math>g^{-1}hg\in\operatorname N_G(H)</math>이며, <math>H</math>는 ''p''-군이므로 <math>h</math>의 위수는 <math>p</math>의 거듭제곱이다. 따라서 <math>g^{-1}hgH</math>의 (<math>N_G(H)/H</math>에서의) 위수 역시 <math>p</math>의 거듭제곱이며, 또한 이는 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 약수이므로, <math>g^{-1}hgH</math>의 위수는 1이다. 즉, <math>g^{-1}hgH=H</math>이며, <math>g^{-1}hg\in H</math>이다. 즉, <math>g\in\operatorname N_G(H)</math>가 성립한다.
를 생각하자. 마지막 조건은 바로 위 단언을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>PgN_G(P)=gN_G(P)\iff g^{-1}Pg=N_G(P)\iff g^{-1}Pg=P\iff g\in N_G(P)\iff gN_G(P)=N_G(P)</math>
즉, 단언이 성립한다.
 
이 두 가지 사실을 종합하면 <math>|H|=p^n</math>을 얻는다. 이는
위 단언들 및 크기 관계
:<math>|G|=\frac{|G:{\operatorname N_G(PH)}|}{|H|}\cdot\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(PH):P}|}\cdot|PH|</math>
때문이다.
에 따라,
:<math>|P|=p^n</math>
이다. 즉, 제1 쉴로브 정리가 성립한다.
 
== 제2 정리의 증명 ==
임의의 쉴로브 <math>p</math>-부분군 <math>Q</math>에 대하여, 군의 작용
=== 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명 ===
:<math>Q\to\operatorname{Sym}(G:N_G(P))</math>
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자. 그렇다면, 임의의 쉴로브 ''p''-부분군(즉, 극대 ''p''-부분군) <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K=gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 <math>G/H</math> 위에서 <math>K</math>가 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>g\mapsto({-}\mapsto g{-})</math>
:<math>K\times G/H\to G/H</math>
을 생각하자. 그렇다면, 위와 비슷한 논증에 따라
:<math>1\equiv|G:N_G(Pk,gH)|\equiv|mapsto kgH\{gN_Gqquad(P)k\in G:N_G(P)|QgN_G(P)=gN_G(P)K,\}|;g\pmodin pG)</math>
또한, <math>G/H</math>의 크기는 <math>p</math>와 서로소이므로, 궤도의 크기가 <math>p</math>와 서로소인 원소 <math>gH\in G/H</math>를 가지며, 이에 대한 안정자군은 <math>K</math> 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\exists g\in G\colon QgN_G(P)=gN_G(P)</math>
:<math>QK=gPgK_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_Hg^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}</math>
또한 <math>K</math>는 쉴로브 ''p''-부분군이므로 <math>K=gHg^{-1}</math>이다.
즉, 제2 쉴로브 정리가 성립한다.
 
=== 이중 잉여류를 통한 증명 ===
부분군 집합 위의 켤레 [[군의 작용|작용]]
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자. 그렇다면, 임의의 쉴로브 ''p''-부분군(즉, 극대 ''p''-부분군) <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K=gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>의 존재를 보이면 된다. [[이중 잉여류]]들의 집합
:<math>G\to\operatorname{Sub}(G)</math>
:<math>gK\backslash G/H=\mapsto({-}KgH\mapstocolon g{-}g^{-1\in G\})</math>
는 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이루므로, 다음이 성립한다.
을 생각하자. 이미 증명한 제2 쉴로브 정리에 따라, <math>\operatorname{Syl}_p(G)</math>는 이 작용의 [[궤도 (군론)|궤도]]이며, <math>N_G(P)</math>는 그 [[안정자군]]이다. [[궤도-안정자군 정리]]에 따라
:<math>|G|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>
:<math>n_p=|G:N_G(P)|</math>
즉,
즉, 제3 쉴로브 정리가 성립한다.
:<math>\frac{|G|}{|H|}=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>
이다. 또한 <math>\frac{|G|}{|H|}</math>는 <math>p</math>와 서로소이므로, <math>\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>가 <math>p</math>와 서로소가 되는 <math>g\in G</math>가 존재한다. 즉, 이 <math>g</math>에 대하여
:<math>\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}=1</math>
이다. 따라서,
:<math>K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}</math>
이며, <math>K</math>는 쉴로브 ''p''-부분군이므로 <math>K=gHg^{-1}</math>이다.
 
=== 귀납법을제3 통한정리의 증명 ===
=== 켤레 작용을 통한 증명 ===
{{빈 문단}}
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p,G)</math>라고 하고, 이 위의 켤레 작용
:<math>G\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>
:<math>(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad(g\in G,\;H\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 [[추이적 작용]]이며, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 <math>\operatorname N_G(H)</math>이다. 따라서
:<math>n_p=|\operatorname{Syl}(p,G)|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>
이다.
 
이제, 임의의 <math>H</math>에 제한된 켤레 작용
=== 조합론을 통한 증명 ===
:<math>H\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>
{{빈 문단}}
:<math>(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식
:<math>n_p\equiv|\{K\in\operatorname{Syl}(p,G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|\pmod p</math>
가 성립한다. 따라서, <math>H</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 <math>K\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여 <math>hKh^{-1}=K</math>를 만족시킨다면, <math>H\subseteq\operatorname N_G(K)</math>이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 <math>g\in\operatorname N_G(K)</math>가 존재한다.
:<math>H=gKg^{-1}=K</math>
따라서, 합동식
:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>
가 성립하며, <math>n_p</math>는 <math>|G|=p^nm</math>의 약수이므로 <math>n_p</math>는 <math>m</math>의 약수이다.
 
=== 빌런트의 증명 (제3 정리) ===
== 응용 사례들 ==
제1 쉴로브 정리에 대한 빌런트의 증명에서 계속하여, 집합
:<math>\mathcal T=\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\}</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>T</math>는 정확히 다음과 같은 집합이다.
:<math>\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p,G),\;g\in G\}</math>
여기서 <math>H\backslash G</math>는 <math>H</math>의 [[오른쪽 잉여류]]들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 ''p''-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,
:<math>|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}\frac{|G|}{|H|}=n_pm</math>
이다.
 
임의의 <math>S\in\mathcal S</math>의 안정자군 <math>G_S</math>은 ''p''-부분군이다. 이는 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>G_Ss\subseteq S</math>이므로, <math>S</math>가 <math>G_S</math>의 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이다. 또한, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>는 <math>G</math>의 작용에 대하여 닫혀있으므로, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math> 속 궤도들의 대표원 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subseteq\mathcal S\setminus\mathcal T</math>를 취할 수 있으며, 이 경우
:<math>|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}\equiv 0\pmod{pm}</math>
가 성립한다.
 
또한,
:<math>|\mathcal S|
=\binom{p^nm}{p^n}
=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}
=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}
\equiv m\pmod{pm}</math>
가 성립한다. 이는 임의의 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여, <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>e</math>라고 할 때,
:<math>p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not\equiv 0\pmod p</math>
이기 때문이다.
 
이들 결론을 종합하면
:<math>n_pm\equiv m\pmod{pm}</math>
을 얻으며, <math>m</math> <math>p</math>는 서로소이므로
:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>
이 성립한다.
 
== 응용 ==
쉴로브 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 대표적인 것들을 몇 가지만 다음에 나열해 본다. <math>p</math>와 <math>q</math>가 [[소수 (수학)|소수]]이며, <math>p<q</math>라고 하자.
* <math>p\nmid q-1</math>일 경우, 크기가 <math>pq</math>인 군은 [[순환군]]과 [[동형]]이다.
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== 역사 ==
[[노르웨이]]의 수학자 [[페테르 루드비 메이델 쉴로브]]가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.
 
== 같이 보기 ==
*[[군의 작용]]
*[[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]
*[[코시의 정리 (군론)|코시의 정리]]
 
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=김주필|제목=알기 쉬운 대수학|출판사=대선|언어=ko|날짜=2009}}
 
== 외부 링크 ==
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* {{매스월드|id=SylowTheorems|title=Sylow theorems}}
 
[[분류:군론 정리]]
[[분류:유한군]]
[[분류:대수학 정리]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/쉴로브_정리"