쉴로브 정리: 두 판 사이의 차이
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** <math>n_p=|G:N_G(H)|</math>. (여기서 <math>N_G(-)</math>는 [[정규화 부분군]]이다.)
== 제1 정리와 제3 정리의 증명 ==
=== 켤레 작용을 통한 증명 ===
크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 <math>|G|</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자. <math>\{g_1,\dots,g_k\}\subseteq G</math>가 [[한원소 집합]]이 아닌 <math>G</math>의 [[켤레류]]들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[켤레류 방정식]]이 성립한다.
25번째 줄:
이제, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여, <math>p^n</math>이 <math>|{\operatorname C_G(g_i)}|</math>의 약수가 아니라고 하자. <math>n=0</math>인 경우는 자명하다. 만약 <math>n>0</math>이라면, <math>p</math>는 <math>|{\operatorname Z(G)}|</math>의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 <math>\operatorname Z(G)</math>는 <math>|K|=p</math>인 부분군 <math>K</math>를 가지며, 이는 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, [[몫군]] <math>G/K</math>는 크기가 <math>p^{n-1}</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H/K</math>를 가지며, 이 경우 <math>H</math>는 크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군이다.
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p,G)</math>라고 하고, 이 위의 켤레 작용▼
=== 빌런트의 증명 (제1 정리) ===▼
:<math>G\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>▼
:<math>(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad(g\in G,\;H\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>▼
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 [[추이적 작용]]이며, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 <math>\operatorname N_G(H)</math>이다. 따라서▼
:<math>n_p=|\operatorname{Syl}(p,G)|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>▼
이다.▼
이제, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>에 제한된 켤레 작용▼
:<math>H\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>▼
:<math>(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>▼
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식▼
:<math>n_p\equiv|\{K\in\operatorname{Syl}(p,G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|\pmod p</math>▼
가 성립한다. 따라서, <math>H</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 <math>K\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여 <math>hKh^{-1}=K</math>를 만족시킨다면, <math>H\subseteq\operatorname N_G(K)</math>이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 <math>g\in\operatorname N_G(K)</math>가 존재한다.▼
:<math>H=gKg^{-1}=K</math>▼
따라서, 합동식▼
:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>▼
가 성립하며, <math>n_p</math>는 <math>|G|=p^nm</math>의 약수이므로 <math>n_p</math>는 <math>m</math>의 약수이다.▼
[[헬무트 빌런트]]({{llang|de|Helmut Wielandt}})의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 <math>n>0</math>이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathcal S=\{S\subseteq G\colon|S|=p^n\}</math>
줄 39 ⟶ 57:
:<math>h\mapsto hs\qquad(h\in H)</math>
는 [[단사 함수]]이므로, <math>|H|=p^n</math>이다.
집합
:<math>\mathcal T=\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\}</math>▼
을 생각하자. 그렇다면, <math>T</math>는 정확히 다음과 같은 집합이다.▼
:<math>\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p,G),\;g\in G\}</math>▼
여기서 <math>H\backslash G</math>는 <math>H</math>의 [[오른쪽 잉여류]]들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 ''p''-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,▼
:<math>|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}\frac{|G|}{|H|}=n_pm</math>▼
이다.▼
임의의 <math>S\in\mathcal S</math>의 안정자군 <math>G_S</math>은 ''p''-부분군이다. 이는 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>G_Ss\subseteq S</math>이므로, <math>S</math>가 <math>G_S</math>의 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이다. 또한, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>는 <math>G</math>의 작용에 대하여 닫혀있으므로, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math> 속 궤도들의 대표원 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subseteq\mathcal S\setminus\mathcal T</math>를 취할 수 있으며, 이 경우▼
:<math>|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}\equiv 0\pmod{pm}</math>▼
가 성립한다.▼
또한,▼
:<math>|\mathcal S|▼
=\binom{p^nm}{p^n}▼
=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}▼
=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}▼
\equiv m\pmod{pm}</math>▼
가 성립한다. 이는 임의의 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여, <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>e</math>라고 할 때,▼
:<math>p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not\equiv 0\pmod p</math>▼
이기 때문이다.▼
이들 결론을 종합하면▼
:<math>n_pm\equiv m\pmod{pm}</math>▼
을 얻으며, <math>m</math>과 <math>p</math>는 서로소이므로▼
:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>▼
이 성립한다.▼
=== 정규화 부분군을 통한 증명 ===
줄 82 ⟶ 128:
:<math>K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}</math>
이며, <math>K</math>는 쉴로브 ''p''-부분군이므로 <math>K=gHg^{-1}</math>이다.
▲쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p,G)</math>라고 하고, 이 위의 켤레 작용
▲:<math>G\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>
▲:<math>(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad(g\in G,\;H\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>
▲를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 [[추이적 작용]]이며, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 <math>\operatorname N_G(H)</math>이다. 따라서
▲:<math>n_p=|\operatorname{Syl}(p,G)|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>
▲이다.
▲이제, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>에 제한된 켤레 작용
▲:<math>H\times\operatorname{Syl}(p,G)\to\operatorname{Syl}(p,G)</math>
▲:<math>(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\operatorname{Syl}(p,G))</math>
▲를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식
▲:<math>n_p\equiv|\{K\in\operatorname{Syl}(p,G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|\pmod p</math>
▲가 성립한다. 따라서, <math>H</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 <math>K\in\operatorname{Syl}(p,G)</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여 <math>hKh^{-1}=K</math>를 만족시킨다면, <math>H\subseteq\operatorname N_G(K)</math>이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 <math>g\in\operatorname N_G(K)</math>가 존재한다.
▲:<math>H=gKg^{-1}=K</math>
▲따라서, 합동식
▲:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>
▲가 성립하며, <math>n_p</math>는 <math>|G|=p^nm</math>의 약수이므로 <math>n_p</math>는 <math>m</math>의 약수이다.
▲:<math>\mathcal T=\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\}</math>
▲을 생각하자. 그렇다면, <math>T</math>는 정확히 다음과 같은 집합이다.
▲:<math>\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p,G),\;g\in G\}</math>
▲여기서 <math>H\backslash G</math>는 <math>H</math>의 [[오른쪽 잉여류]]들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 ''p''-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,
▲:<math>|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p,G)}\frac{|G|}{|H|}=n_pm</math>
▲이다.
▲임의의 <math>S\in\mathcal S</math>의 안정자군 <math>G_S</math>은 ''p''-부분군이다. 이는 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>G_Ss\subseteq S</math>이므로, <math>S</math>가 <math>G_S</math>의 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이다. 또한, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>는 <math>G</math>의 작용에 대하여 닫혀있으므로, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math> 속 궤도들의 대표원 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subseteq\mathcal S\setminus\mathcal T</math>를 취할 수 있으며, 이 경우
▲:<math>|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}\equiv 0\pmod{pm}</math>
▲가 성립한다.
▲또한,
▲:<math>|\mathcal S|
▲=\binom{p^nm}{p^n}
▲=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}
▲=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}
▲\equiv m\pmod{pm}</math>
▲가 성립한다. 이는 임의의 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여, <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>e</math>라고 할 때,
▲:<math>p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not\equiv 0\pmod p</math>
▲이기 때문이다.
▲이들 결론을 종합하면
▲:<math>n_pm\equiv m\pmod{pm}</math>
▲을 얻으며, <math>m</math>과 <math>p</math>는 서로소이므로
▲:<math>n_p\equiv 1\pmod p</math>
▲이 성립한다.
== 응용 ==
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