항등 함수: 두 판 사이의 차이
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[[파일:Function-x.svg|섬네일|실수 위의 항등함수의 그래프]]
[[수학]]에서, '''
▲[[수학]]에서, '''항등함수'''(恒等函數, {{lang|en|identity function}}), 또는 '''항등사상'''(恒等寫像, {{lang|en|identity map}}), '''항등변환'''(恒等變換, {{lang|en|identity transformation}}), '''단위변환'''(單位變換), '''항등관계'''(恒等關係, {{lang|en|identity relation}})는, 어떤 변수도 자기 자신을 함숫값으로 하는 [[함수]] <math>f(x) = x</math>이다.
== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''항등 함수''' <math>\operatorname{id}_X</math>는 다음과 같은 [[함수]]이다.
▲:<math>M</math>의 모든 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>f(x) = x</math>
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
즉, 항등 함수는 집합의 범주에서 항등 사상의 역할을 한다. 특히, <math>X</math>의 [[자기 함수]]의 집합 <math>\operatorname{End}(X)</math>는 [[함수의 합성]]에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.
{{증명}}
=f(\operatorname{id}_X(x))
=f(x)</math>
이므로,
이다. 마찬가지로 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여,
:<math>(\operatorname{id}_Y\circ f)(y)
=\operatorname{id}_Y(f(y))
=f(y)</math>
이므로,
:<math>\operatorname{id}_Y\circ f=f</math>
이다.
{{증명 끝}}
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* 다음을 만족시키는 함수 <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>가 존재한다. (이를 <math>f</math>의 [[역함수]]라고 한다.)
** <math>f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X</math>
** <math>f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y</math>
즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 [[동형 사상]]의 역할을 한다. 특히, <math>X</math>의 자기 전단사 함수의 집합 <math>\operatorname{Sym}(X)</math>은 함수의 합성에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 <math>X</math>의 [[대칭군]]이라고 한다.
==
== 관련 개념 ==
▲함수 <math>f : \, x \to y</math>에 대하여
=== (범주의) 항등 사상 ===
▲:<math>f^{-1} \circ f=\operatorname{id}_x</math>
범주 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>의 '''항등 사상'''(恒等寫像, {{llang|en|identity morphism}}) <math>\operatorname{id}_X</math>은 다음과 같은 사상이다.
▲:<math>f \circ f^{-1}=\operatorname{id}_y</math>
* <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>
* <math>\mathcal C</math>의 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f\circ\operatorname{id}_X=f</math>
* <math>\mathcal C</math>의 임의의 사상 <math>g\colon Y\to X</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_X\circ g=g</math>
범주의 정의에 따라, 이러한 사상 <math>\operatorname{id}_X</math>는 임의의 <math>X</math>에 대하여 유일하게 존재한다.
{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_X</math>의 유일성}}
범주의 정의에 따라 <math>X</math>의 항등 사상은 적어도 하나 존재한다.
이제, 사상 <math>g,h\colon X\to X</math>가 모두 항등 사상이라고 하자. 그렇다면 특히
▲== 예 ==
▲* [[자연수]]의 집합에 대한 항등 함수는 [[곱셈적 함수]]이다.
이다. 이에 따라 <math>X</math>의 항등 사상은 많아야 하나 존재한다.
▲*<math>(f \circ g)(a)=a</math>이면,
▲:<math>f \circ g=\operatorname{id}</math>를 의미하므로,
두 가지를 종합하면 <math>X</math>의 항등 사상은 유일하게 존재한다는 사실을 얻는다.
▲:<math>f \circ f^{-1}=\operatorname{id}</math>이므로
{{증명 끝}}
=== 항등 함자 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 '''항등 함자'''(恒等函子, {{llang|en|identity functor}}) <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]이다.
* <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math>의 임의의 대상 <math>X</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)=X</math>
* <math>\mathcal C</math>의 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)=f</math>
{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 함자}}
임의의 대상 <math>X</math>에 대하여
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_{\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)}</math>
이며, 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y\to Z</math>에 대하여
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname{id}_{\mathcal C}(g)\circ\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)</math>
이므로, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 (공변) 함자이다.
{{증명 끝}}
=== 항등 자연 변환 ===
함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>의 '''항등 자연 변환'''(恒等自然變換, {{llang|en|natural transformation}}) <math>\operatorname{id}_F</math>는 다음과 같은 [[자연 변환]]이다.
* <math>\operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F</math>
* <math>C</math>의 임의의 대상 <math>X</math>에 대하여, <math>(\operatorname{id}_F)_X=\operatorname{id}_{F(X)}</math>
{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_F</math>는 자연 변환}}
임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>(\operatorname{id}_F)_Y\circ F(f)
=\operatorname{id}_{F(Y)}\circ F(f)
=F(f)
=F(f)\circ\operatorname{id}_{F(X)}
=F(f)\circ(\operatorname{id}_F)_X</math>
이므로, <math>\operatorname{id}_F</math>는 자연 변환이다.
{{증명 끝}}
== 같이 보기 ==
* [[
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Identity map}}
* {{매스월드|id=IdentityMap|title=Identity map}}
* {{nlab|id=identity function|title=Identity function}}
* {{nlab|id=identity morphism|title=Identity morphism}}
* {{nlab|id=identity functor|title=Identity functor}}
* {{nlab|id=identity natural transformation|title=Identity natural transformation}}
{{집합론}}
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