항등 함수: 두 판 사이의 차이

범주 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>의 '''항등 사상'''(恒等寫像, {{llang|en|identity morphism}}) <math>\operatorname{id}_X</math>은 다음과 같은 사상이다.

* <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>

범주의 정의에 따라, 이러한 사상 <math>\operatorname{id}_X</math>는 모든 <math>X</math>에 대하여 유일하게 존재한다.

{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_X</math>의 유일성}}

범주 <math>\mathcal C</math>의 '''항등 함자'''(恒等函子, {{llang|en|identity functor}}) <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]이다.

* <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>

{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 함자}}

:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_{\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)}</math>

:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname{id}_{\mathcal C}(g)\circ\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)</math>

이므로, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 (공변) 함자이다.

함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>의 '''항등 자연 변환'''(恒等自然變換, {{llang|en|natural transformation}}) <math>\operatorname{id}_F</math>는 다음과 같은 [[자연 변환]]이다.

* <math>\operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F</math>

만약 <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 <math>\operatorname{id}_F</math>는 <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_F</math>는 자연 변환}}

:<math>(\operatorname{id}_F)_Y\circ F(f)

=\operatorname{id}_{F(Y)}\circ F(f)