구조 (논리학): 두 판 사이의 차이

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부호수 <math>\sigma</math>의 언어에 속하는 공식 <math>\phi</math>가 <math>n</math>개의 자유 변수 <math>\vec x=(x_1,\dots,x_n)</math>을 갖는다고 하자. 부호수 <math>\sigma</math>의 구조 <math>M</math> 및 <math>\vec a\in M^n</math>에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, <math>M</math>이 <math>\phi</math>를 치환 <math>\vec x\mapsto\vec a</math> 아래 '''만족시킨다'''(滿足시킨다, {{llang|en|satisfy}})고 하고, <math>M\models\phi[\vec a/\vec x]</math>라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 <math>=</math>, <math>\lnot</math>, <math>\land</math>, <math>\forall</math>은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호 <math>\langle\cdots\rangle</math> 속에 적었다.
* <math>M\models\langle t_1=t_2\rangle[\vec a/\vec x]\iff t_1[\vec a/\vec x]=t_2[\vec a/\vec x]</math>. 여기서 <math>t[\vec a/\vec x]</math>는 항 <math>t</math> 속에 등장하는 모든 변수 <math>x_i</math>를 이에 대응하는 <math>a_i</math>로 치환하고, <math>t</math> 속에 등장하는 모든 연산 <math>f\in F</math>를 <math>f_M</math>으로 치환하여 얻은 원소 <math>\in M</math>이다.
* <math>M\models\langle R(t_1,\dots,t_n)\rangle[\vec a/\vec x]\iff R_M(t_1/[\vec a/\vec x],\dots,t_n[\vec a/\vec x])</math>
* <math>M\models\langle\phi\land\chi\rangle\iff(M\models\phi)\land(M\models\chi)</math>
* <math>M\models\langle\lnot\phi\rangle\iff\lnot(M\models\phi)</math>