"순환군"의 두 판 사이의 차이

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* <math>g^n=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다.
* 임의의 <math>g\in\mathbb G</math>에 대하여, <math>g^n=1</math>
* <math>\exp G\mid n</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\exp G\mid n</math>이라면, <math>n=n'\exp G</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g</math>
{{증명 시작}}
:<math>(gN)^{\operatorname{ord}g}=g^{\operatorname{ord}g}N=N</math>
{{증명 끝}}
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}g^n\mid\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
* <math>\operatorname{ord}g=m</math>
* <math>\operatorname{ord}h=n</math>
{{증명 시작}}
[[베주 항등식]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
:<math>1=mu+nv</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G</math>
{{증명 시작}}
최대 차수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g</math>
* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다.
* <math>G</math>는 [[아벨 군|아벨]] 단순군이다.
{{증명 시작}}
* '''소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:''' <math>|G|</math>가 소수라면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따라, 그 부분군은 <math>\{1_G\},G</math>밖에 없으므로, <math>G</math>는 단순군이다. <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>|\langle g\rangle|=p</math>이므로, <math>\langle g\rangle=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 순환군이다.
* '''순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군:''' 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
* 임의의, <math>|G|</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대하여, <math>\{H\le G\colon|H|=d\}\le1</math>이다.
* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다.
{{증명 시작}}
* '''(1) ⇒ (2):''' 순환군 <math>\langle g\rangle</math>의, 크기 <math>d</math>의 부분군은 <math>\langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle</math>가 유일하다.
* '''(1) ⇐ (2):''' 임의의 <math>0<d\mid|G|</math>에 대하여, <math>|\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)>0</math>임을 증명하자. (여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.) 그렇다면, 특히 <math>\operatorname{ord}g=|G|</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하므로, <math>G</math>는 순환군이다.
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math>
* <math>\gcd\{m,n\}=1</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1\oplus1)=\operatorname{ord}(1\oplus0)\operatorname{ord}(0\oplus1)=mn</math>
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>이므로, <math>Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}</math>이다.
{{본문|아벨 군}}
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다.
{{증명 시작}}
[[귀류법]]을 사용하여, <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>|G|\ge2</math>이며, <math>G\ne\langle a\rangle</math>이므로, 최소 차수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\operatorname{ord}b=p</math>