쉴로브 정리: 두 판 사이의 차이

* <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.

* <math>HN/N</math>은 <math>G/N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.

<math>K</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 따라서

:<math>K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}</math>

=== 충분 조건 ===

만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 ''p''-부분군이며, <math>H=\operatorname N_G(H)</math>라면, <math>H</math>는 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

<math>H</math>가 <math>H</math>의 켤레 부분군의 집합

:<math>\mathcal S=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}</math>

=== 교집합 ===

만약 <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면, <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 [[특성 부분군]]이자 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>n(p^n;G)=1</math>이며, <math>H=\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 유일한 쉴로브 ''p''-부분군이다.

우선, <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>에 대하여,

:<math>\operatorname O(p;G)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname{Core}_G(H)</math>