"기약 다항식"의 두 판 사이의 차이

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=== 실수체 위의 기약 다항식 ===
[[실수체]] 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 [[판별식]]이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.
{{증명 시작}}
;1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
;판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
:<math>\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))</math>
특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, {{llang|en|Gauss's lemma}})라고 한다.
{{증명 시작}}
두 원시다항식 <math>f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i,</math> <math>g(x) = \sum_{j=0}^m b_jx^j</math>의 곱
:<math>f(x)g(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_kx^k,\quad c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j</math>